אינטגרל מרוכב-איפה הטעות?

[מכור אנונימי לקולה]

אינטגרל מרוכב-איפה הטעות?

אני רוצה לחשב אינטגרל של הפונקציה |z| על פני החצי העליון של עיגול היחידה. בחרתי בפרמטריזציה הרגילה e^(it) בין 0 לפאי. מה שקיבלתי:
(int from 0 to pi) |e^(it)| ie^(it)dt=(int from 0 to pi) ie^(it)dt=e^(i*pi)-e^0=-2
זה נראה לי חשוד, כי הפונקציה על המסילה הנ"ל היא הפונקציה הקבועה 1, ולכן ציפית שהתוצאה תהיה פאי. איפה הטעות?

 

[אורי769]

הטעות היא באינטואיציה

התשובה שקיבלת, 2-, היא התשובה הנכונה. הטעות היא באינטואיציה שלך לגבי אינטגרל מרוכב. אינטואיטיבת אתה אומר - אינטגרל של קבוע לאורך מסילה זה אורך המסילה. אבל זה לא נכון. כדי קצת לסדוק את האינטואיציה שלך, אשתמש בשתי דוגמאות, הראשונה היא אותו תרגיל עצמו רק תהפוך את כיוון המסילה. אתה מסכים איתי שגם לו שגית בחישוב והיה יוצא pi הרי שבכיוון ההפוך היה יוצא -pi. אכן בכיוון ההפוך יוצא 2 וזה משום שהאינטגרל לא מחשב את אורכה של המסילה. כדוגמא פשוטה יותר קח את הפונקציה הפשוטה f(z)=1. הפונקציה הקבועה. עכשיו חשב מסילה לאורך הקטע בין 0 ל-1. אח"כ חשב בקטע בין 0 ל-i. לשיטתך אמור לצאת אותו הדבר. האמנם?

 

[מכור אנונימי לקולה]

הגיוני. תודה רבה!