נכון
אני מקווה שהתכוונת שכל המשתנים הם טבעיים כולל אפס [שכן אחרת אין טען לרשום את ההגבלה n>2...). וניגש להוכחה: נניח בשלילה שקיימים x,y,z שפותרים את המשוואה עבור n>2 כולשהו. נסמן ב-h את המספר הקטן ביותר מבין x,y,z. h לא יכול להיות z,שכן אילו היה z, אז משום ש-z<=x, אז n^z<=n^x. אבל n^y הוא חיובי, ולכן n^z<n^x+n^y - בלתי אפשרי. ולכן h שווה ל-x או ל-y. ללא הגבלת הכלליות נניח ש-h=x. נחלק את המשוואה ב- n^x ונקבל:
1=n^(z-x)-n^(y-x)
y-x>0 שכן אילו x-y=0 אז היינו מקבלים:
1=-1+n^(z-x) 2=n^(z-x)
וזאת כמובן סתירה שכן הראינו ש- h לא שווה ל-z ולכן z>h=x דהיינו z-x>0 וכמו כן, n>2 ולכן n בחזקת z-x גדול מ-2. לפיכך x-y>0. על כן, n מחלק את n^(z-x) וכן את n^(y-x) לפיכך n מחלק את:
n^(z-x)-n^(y-x)=1
אם כן, n מחלק את 1, ולכן בהכרח n=1 שוב סתירה לכך ש- n>2 ,ולכן הנחתינו הראשונה שגויה. מש"ל.
