חידה - 3 צבעים

ניסיון לפתור את חידת שלושת הצבעים, למרות

שפורסם פתרון לארבעה צבעים
יש לפחות נקודה אחת הצבועה בצבע A. אחרת, ניקח נקודה בצבע אחר, נקרא לו B, ונקיף אותה במעגל בעל רדיוס d, ואז: אם יש במעגל זה נקודה נוספת בעלת צבע B, אז סיימנו, אחרת, כל נקודות המעגל צבועות בצבע C, וביניהן יש שתיים במרחק d, וגם כן סיימנו. ובכן, נקיף את הנקודה הצבועה בצבע A בשני מעגלים: הקטן בעל רדיוס d, והגדול בעל רדיוס d שורש 3. אם יש במעגל הקטן לפחות נקודה אחת בצבע A, סיימנו. נניח שכל הנקודות במעגל הקטן צבועות רק בצבעי B ו-C. אם יש בהן שתיים במרחק d זו מזו בעלות אותו צבע, סיימנו. נשאר רק המקרה, שאין על המעגל הקטן שתי נקודות כאלה. ניקח נקודה כלשהי על המעגל הגדול ונבנה מעוין, שאלכסונו הגדול הוא הרדיוס המחבר את הנקודה על המעגל הגדול עם מרכז המעגל, ושני קודקודיו האחרים הם נקודות על המעגל הקטן! המרחק בין שתי הנקודות הללו על המעגל הקטן הוא בדיוק d, והן צבועות B ו-C. אם הקודקוד שעל המעגל הגדול צבוע B או C, אז סיימנו. נשאר המקרה, שהוא צבוע A. וכך לגבי כל נקודה על המעגל הגדול! אם אחת מהן שונה מ-A, אז, כאמור, סיימנו, אחרת: כל המעגל הגדול צבוע A, ואין בעייה לסיים!
 

הפרבולה

New member
זה גם הפתרון שאני מכיר

רק אשלים את ההוכחה ( אחרי המשפט שכתבתה "אין בעיה לסיים!" ) למקרה שכל המעגל הגדול צבוע ב A אז קים עליו מיתר שאורכו d ( יש אינסוף כאלו ) .
 
הניסוח היה מסורבל זוועה. להלן ניסוח קצר


בלי לפרט יותר מדיי
נסובב את המעוין ABCD (צלעותיו שות d. המשולשים ABD ו-BCD שווי צלעות) סביב הנקודה A. כל נקודות המישור נשארות ללא שינוי, רק המעוין מסתובב. לנקודות B, C ו-D יהיו צבעים שונים, והנקודה A, העומדת במקום קבוע, תישאר תמיד אדומה. יש בדיוק שתי אפשרויות: א. כל המיקומים האפשריים של הנקודה C, כלומר, כל נקודות המעגל הגדול, צבועות בצבע האדום של נקודה A. ב. אחת מהן צבועה בצבע אחר. ברור שבכל אחת משתי האפשרויות יש שתי נקודות בעלות אותו צבע, הנמצאות במרחק d זו מזו.
 

עריסטו

Active member
אתה מוזמן להוכיח ששבעה צבעים מספיקים

כלומר שניתן לצבוע את המישור בשבעה צבעים כך שלא יהיו נקודות בעלות אותו צבע במרחק 1 זו מזו.
 
חידה פשוטה

הציגו דוגמה למעגל ברדיוס 1, שכל נקודותיו צבועות בשני צבעים, ואין בו שתי נקודות בעלות אותו צבע, שהמרחק ביניהן שווה 1.
 

הפרבולה

New member
אפשר ככה

נחלק את המעגל ל 6 קשתות שוות, וניצבע אותם לסרוגין ב 2 צבעים, הזוית של כל קשת a היא 60 מעלות, הצבע של נקודה על המעגל בזוית b היא כחול או אדום לפי: 0 B]
 

עריסטו

Active member
חידה פחות פשוטה

הציגו דוגמה למעגל ברדיוס 1, שכל נקודותיו צבועות בשני צבעים, ואין בו שתי נקודות בעלות אותו צבע, שהמרחק הזוויתי ביניהן שווה רדיאן אחד.
 
אקסיומת הבחירה?

נגדיר בקבוצת המספרים הממשיים את מחלקות השקילות הבאות: שני מספרים שייכים לאותה מחלקה, אם ורק אם ההפרש ביניהם שווה: m+2πk, כאשר m ו-k מספרים שלמים. נסמן את כל המספרים הממשיים כנקודות על המעגל. עבור כל x קבוע, כל המספרים x+2πk, כאשר k שלם, מסמנים את אותה הנקודה על המעגל (ושייכים לאותה מחלקה). נבחר מכל מחלקה נציג אחד בדיוק, ונצבע את כל הנציגים באדום. אם המספר הממשי x הוא נציג המחלקה שלו, אפשר לבטא את כל מספרי המחלקה שלו כ: x + m + 2πk כאשר m ו-k שלמים. נצבע אותם באדום עבור כל m זוגי, ובכחול עבור כל m אי זוגי.
 

עריסטו

Active member
זאת חידה מקורית שלי


גם לגבי החידה של צביעת המישור (האם חמישה צבעים מספיקים? האם ששה מספיקים?) ייתכן שיש פתרון שתלוי באקסיומת הבחירה.
 
למעלה