חידות שגלשו לעמוד השלישי

[עריסטו]

חידות שגלשו לעמוד השלישי

חידות שבגלל תקלה גלשו לעמוד השלישי ולא הספיקו לראות אותן: 1. מהו מספר האפשרויות לבחור שתי מחרוזות בינאריות, בראשונה 101 ספרות ובשניה 100 ספרות, כך שמספר האפסים במחרוזת הראשונה יהיה גדול ממספר האפסים במחרוזת השניה? 2. מטילים קוביה שוב ושוב עד שהסכום המצטבר גדול ממיליון. כשעוצרים הסכום הסופי הוא אחד המספרים 1000001 1000002 1000003 1000004 1000005 1000006 למי מהמספרים האלה יש ההסתברות הגדולה ביותר להיות הסכום הסופי? 3. וחידה שהיא בעצם בעיה שפרסם המשתמש EB10000 (לא להציץ בפתרון שכתבתי שם!

) - מהו מספר האפשרויות לבחור שתי מחרוזות בינאריות A ו-B, בכל אחת n ביטים, כך שמספר האחדות ב-A יהיה גדול ב-k ממספר האחדות ב-B?

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

מה קרה עם הפורום?

מישהו פנה להנהלת הפורומים בעניין זה? השאלה הרגילה: מה זה הכוכב הבהיר בסביבת הירח? צדק? ומה זה הכוכב הפחות בהיר שמשמאלו?

 

[עריסטו]

ליד הירח זה צדק, משמאל לצדק זה שבתאי

תזכורת - מרחק מינימלי בין צדק לשבתאי ב-21/12 (עשירית מעלה בלבד

) עוד תזכורת - ב-21/6 יהיה ליקוי חמה חלקי.

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

 

[עריסטו]

מדוע אינך מתקין תוכנת פלנטריום?

מצאתי תוכנה שנראית מועילה: https://stellarium.org/

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

תודה

זה מסובך בשבילי...

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

2. בשיטת מונטה-קרלו מתקבל...

1000001.

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

גם לפי היגיון,

נראה לי שיש 21 אפשרויות בערך-שוות-הסתברות למהלך האחרון שבעקבותיו הסכום עובר את המיליון, מהן: 6 אפשרויות להגיע למיליון + 1, 5 אפשרויות להגיע למיליון + 2, 4 אפשרויות להגיע למיליון + 3, 3 אפשרויות להגיע למיליון + 4, 2 אפשרויות להגיע למיליון + 5 ורק אפשרות אחת מתוך 21 להגיע למיליון + 6.

 

[עריסטו]

נסה את שיטת לאס וגאס

לא קשה להגיע להוכחה ממש.

 

[aaa123]

נכון

אפשר לפרק את האפשרויות ל6 מאורעות זרים עבור i טבעי שיכול לקבל ערכים 1-6 &nbsp מאורע i: הגענו ל1000001 מינוס i בצעד האחרון לפני שעברנו את מליון. &nbsp בהנתן מאורע i ברור שאנו עוצרים במספר שיכול לקבל כל ערך בין 1000001 ו1000007 פחות i בהסתברות שווה. &nbsp לפי נוסחה של הסתברות שלמה ברור שההסתברות של 1000001 לא יכולה להיות קטנה מההסתברות של מספר גדול יותר והיא גדולה ממש כי בהנתן מאורע 6 שהסתברותו אינה 0 בהכרח הגענו ל1000001 ולא למספר אחר.

 

[עריסטו]

הנה ניסוח אחר

נוכיח למשל שההסתברות לעצור ב-1000001 גדולה מההסתברות לעצור ב-1000003. לכל סדרת הטלות שעוצרת ב-1000003 מתאימה סדרת הטלות בעלת אותה הסתברות שעוצרת ב-1000001: פשוט נקטין את תוצאת ההטלה האחרונה ב-2. בנוסף, יש סדרות שעוצרות ב-1000001 שאינן מתקבלות בדרך זו מסדרה שעוצרת ב-1000003: אלו הן הסדרות שמסתיימות ב-5 או 6.

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

נראה לי שהצעתי

פתרון מפורט יותר - 21 האפשרויות של המהלך האחרון. לא כך?

 

[עריסטו]

כתבת שהאפשרויות בערך-שוות-הסתברות

זו עדיין לא הוכחה. להשלמת ההוכחה יש לציין שיש 5 אפשרויות להגיע ל-1000002, יש 6 אפשרויות להגיע ל-1000001, ומתוך 6 האפשרויות האלה יש 5 בעלות אותן הסתברויות, בהתאמה, כמו 5 האפשרויות להגיע ל-1000002.

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

אכן,

אבל גם מעניינת הערכת ההסתברויות של כל אחת משש האפשרויות.

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

אמנם לא הצגתי הוכחה להערכה

שיחס ההסתברויות הוא "בערך" 6:5:4:3:2:1, אבל ניחוש זה נראה איטואיטיבית הגיוני. בדקתי על מספרים קטנים ממיליון, וקיבלתי תוצאה זו, כאשר במקום מיליון, נתונים הגבולות הבאים: 100 - דיוק של 14 ספרות אחרי הנקודה העשרונית. 1000 - דיוק של 137 ספרות. 10000 - דיוק של 1365 ספרות.

 

[aaa123]

לגבי חידה 1 אני מציע להפוך את המחרוזת השניה.

במקרה זה אם נסמן x מספר האפסים בראשונה ונסמן y מספר האפסים בשניה אז 100 פחות y זה מספר ה1 ים בשניה או מספר האפסים במחרוזת השניה. x+100-y זה מספר האפסים במחרוזת המתוקנת. מכיון שהתנאי היחיד שיש לנו הוא x>y אז מספר האפסים במחרוזת המתוקנת הוא לפחות 101 מתוך 201. וזה יש 2 בחזקת 200 אפשרויות בדיוק(בגלל שיש 2 בחזקת 201 מחרוזות אפשרויות באורך 201 ובדיוק בחצי מתוכם יש יותר אפסים מ1ים).

 

[עריסטו]

פתרון נכון, אפשר לפתור בעוד דרכים

נראה לי שהפשוט ביותר הוא כך. ברור שמתקיימת בדיוק אחת משתי האפשרויות:

במחרוזת באורך 101 יש יותר אפסים מאשר במחרוזת השניה

במחרוזת באורך 101 יש יותר אחדים מאשר במחרוזת השניה ובגלל הסימטריה לכל אחת משתי האפשרויות האלה יש הסתברות 1/2.

 

[aaa123]

לגבי שאלה 3 גם הפיכת המחרוזת עוזרת

כללית יש ב-A כמות של m אחדות,ויש ב-B כמות של m-k אחדות. &nbsp במחרוזת ההפוכה ל-B שתקרא B1 יש n-m+k אחדות. בשרשור של המחרוזת A וB1 יש n+k אחדות מתוך 2n והתוצאה הסופית היא 2n מעל n+k אם מסכמים על כל הm האפשריים.

 

[עריסטו]

זה הפתרון שחשבתי עליו