פתרון לשאלה 1 א
lim [f(x0+1/x) / f(x0-1/x)] ^ x= x ->∞
lim [f(x0+1/x) / f(x0-1/x) +1 -1] ^ x= x ->∞
lim [1+ (f(x0+1/x) -f(x0-1/x) ) / f(x0-1/x) ] ^ x= x ->∞
lim [1+ x*(f(x0+1/x) -f(x0-1/x) ) / x*f(x0-1/x) ] ^ x= x ->∞
נגדיר
a(x) = f(x0-1/x)
b(x) =x*(f(x0+1/x) -f(x0-1/x) )
ונקבל
lim [1+ b(x)/x*a(x) ] ^ x= x ->∞
lim { [1+ b(x)/x*a(x) ] ^ a(x)*x / b(x) } ^ b(x)/a(x) = x ->∞
lim { e } ^ b(x)/a(x) = x ->∞
נשים לב ש
a(x) -> f(x0) x ->∞
b(x) -> 2*f'x(0) x ->∞
ולכן הגבול שווה ל
e^(2*f'(x0)/ f(x0) )
