עוד חידת פיבונאצ'י

מיצאו פולינום P(a,b) בעל התכונה הבאה:
אם a,b (בסדר הזה) הם שני מספרים עוקבים בסדרת פיבונאצ'י (למשל a=1,b=1 או a=1,b=2 או a=2,b=3 או a=3,b=5 וכן הלאה) אז P(a,b)=0. עבור כל זוג אחר של מספרים שלמים חיוביים P(a,b) שונה מאפס.
 
חידה נוספת. סדרה דומה:
F[0] = 0
F[1] = 1
F[2] = 3
F[3] = 10
. . .
[F[n+2] = 3F[n+1] + F[n

מה האורך (מספר הספרות העשרוניות) של [F[1000000 ?
 
חידה נוספת. סדרה דומה:
F[0] = 0
F[1] = 1
F[2] = 3
F[3] = 10
. . .
[F[n+2] = 3F[n+1] + F[n

מה האורך (מספר הספרות העשרוניות) של [F[1000000 ?
פתרון
האיבר הכללי בסידרה זו הוא ( פתרון משוואת הפרשים עם תנאי התחלה):

קוד:
F(n)=  1/sqrt(13) * [  ((3 + sqrt(13))/2)^n  - ((3 - sqrt(13))/2)^n  ]
log(F(n))  =~ log( 1/sqrt(13) ) +n*log ((3 + sqrt(13))/2)
log(F(1000000))  =~ log( 1/sqrt(13) ) +1000000*log ((3 + sqrt(13))/2) =

518879.07244876742284448650960088 - 0.55697167615341838460325257897116 =
518878.5154770912694261019063483

הלוג הוא לפי בסיס 10 והוא יותר גדול מ 518878 וקטן מ 518879 ולכן יש 518879 ספרות.

את האיבר השני ששוה ל ...0.30277563773199464655961063373525 שמועלה בחזקת 1000000 מזניחים כי הוא קטן מאד ולא משנה את התוצאה של מספר הספרות.
 
פתרון
האיבר הכללי בסידרה זו הוא ( פתרון משוואת הפרשים עם תנאי התחלה):

קוד:
F(n)=  1/sqrt(13) * [  ((3 + sqrt(13))/2)^n  - ((3 - sqrt(13))/2)^n  ]
log(F(n))  =~ log( 1/sqrt(13) ) +n*log ((3 + sqrt(13))/2)
log(F(1000000))  =~ log( 1/sqrt(13) ) +1000000*log ((3 + sqrt(13))/2) =

518879.07244876742284448650960088 - 0.55697167615341838460325257897116 =
518878.5154770912694261019063483

הלוג הוא לפי בסיס 10 והוא יותר גדול מ 518878 וקטן מ 518879 ולכן יש 518879 ספרות.

את האיבר השני ששוה ל ...0.30277563773199464655961063373525 שמועלה בחזקת 1000000 מזניחים כי הוא קטן מאד ולא משנה את התוצאה של מספר הספרות.
|V|
 
למעלה