שאלה במתמטיקה

[אמִיר]

שאלה במתמטיקה

אני מניח שפורום מתמטיקה ידע לענות, ואולי גוגל או ויקיפדיה, אבל בטח גם כאן יהיה מישהו.. בכל מקרה, השאלה היא לגבי שורשים של פולינומים- ידוע שאין נוסחא סגורה לשורשים של פולינומים מעל מעלה שלישית. השאלה שלי היא האם בנוסחא הכוונה לנוסחא עם 4 הפעולות הבסיסיות, או שזה כולל גם אינטגרלים ובלאגנים? כי שיחקתי קצת עם תכונות של התמרת פוריה, וראיתי שאפשר להגיע דיי בקלות לנוסחא עבור השורש הכי גדול, וברגע שיש נוסחא לשורש אחד, אפשר לחלק את הפולינום בו ולהמשיך הלאה. סתם, מסקרן אותי לדעת אם זה אפשרי.. אין לי שום ידע מתמטי בנושאים (פולינומים) האלה, שיהיה ברור.

 

[אחמס1]

דווקא למעלה שלישית יש נוסחה סגורה

שיש בה רק חזקות ושורשים, חיבור, חיסור וכפל של מקדמי הפולינום - בדיוק כמו הנוסחה הפשוטה של פתרון משוואה ריבועית (רק שכאן יש שלושה פתרונות ולא שניים, וזה הרבה יותר ארוך ומכוער). ולפי הידוע לי קיימת גם נוסחה למעלה רביעית, רק שמעודי לא ראיתי אותה (לא צריך להיות קשה למצוא בספרים או באינטרנט). לעומת זאת למעלה חמישית באמת אין נוסחה *כללית* כזאת. למקרים פרטיים, למשל x^5=1 אפשר כמובן למצוא פתרון. האם שיטת הפורייה שלך עובדת גם לשורש הכי גדול של פולינום למעלה חמישית? קצת קשה לי להאמין אבל אני בהחלט מעוניין לשמוע יותר. התמרה, אחרי הכל, היא לא הרבה מעבר לארבע פעולות חשבון.

 

[אמִיר]

נכון, חמישית

ידעתי שיש למעלה שלישית.. האמת שכחתי שיש לרביעית. הרעיון הוא פשוט- אם יש משוואה דיפרנציאלית, למשל y+3y'+2y''=0 אז הפיתרונות הם סכום של e^-t וe^-2t, כלומר: Ae^-t+Be^-2t, אם נבודד את השורש הכי גדול (מינוס אחד), נקבל: e^-t(A+Be^-3t), אם נוציא לזה לוג, נקבל מינוס t ועוד ln(A+be^-3t). אם נגזור, ונשאיף את t לאינסוף, נקבל מינוס אחד, שזה השורש הכי גדול. מצד שני, אפשר לעשות התמרת פוריה למשוואה, לקבל את הפיתרון, ואז לעשות התמרת פוריה הפוכה. אם נוציא לוג, נגזור, ונשאיף את t לאינסוף בהתמרה ההפוכה, יש לנו ביטוי סגור עבור השורש הכי גדול. באופן עקרוני, אני לא רואה מה כאן מוגבל למעלה חמישית. מצד שני, יש כאן אינטגרלים אינסופיים, גבולות, ובטח כל מיני מגבלות שנכנסות בעקבות שימוש בהתמרת פוריה.

 

[אחמס1]

אני לא בטוח אם אני מפספס כאן משהו

אבל כשאתה מתמיר מד"ר לינארית למרחב פורייה היא הופכת למשוואה אלגברית באותה מעלה של המד"ר. ואם זה מעלה חמישית אתה במילא לא יודע לפתור את זה.

 

[אמִיר]

אני לא פותר

אני משתמש בעובדה שיש נוסחא סגורה לפיתרון (התמרת פוריה ההפוכה), אני לא צריך ממש לפתור. נניח בדוגמא שנתתי, הפיתרון יהיה (עם תנאי התחלה מתאימים): 1/(1+3jw-2w^2). מבלי לפרק את זה לגורמים, יש לי את הנוסחא להתמרה ההפוכה. מצד שני אני יודע שההתמרה ההפוכה, שזה הפיתרון של המד"ר, היא גם סכום אקספוננטים של הפיתרונות של המשוואה האלגברית. אם אני יודע איך זה נראה, אני יכול למצוא לפחות את המקדם הכי גבוה, כי כשt->אינסוף הוא היחיד שמשפיע. (ואפשר למצוא אותו בדיוק, אם גוזרים את הלוג).

 

[יונתן 2000]

אתה יכול להסביר

בהינתן פולינום כלשהו מה הדרך שלך למצוא את השורש הכי גדול?

 

[אמִיר]

חשבתי שזה מה שעשיתי ../images/Emo13.gif

אבל הנה שוב: אני מתחיל מפולינום- P(x)=a0+a1*x+a2*x^2+...zz במקום x אני מציב jw, ומקבל P(jw) אני עושה התמרת פוריה הפוכה לזה, ומקבל: y(t)=IFT{1/P(jw)} zz אני משאיף את y(t) לאינסוף, מוציא לוג, וגוזר: p=lim(t->inf, d/dt{ln[y(t)]}) zz p אמור להיות השורש הכי גדול . הסיבה שלדעתי זה אמור לעבוד, היא שy(t) זה גם הפיתרון של a0+a1y+a2y''+...=delta(t) zz והפיתרון הוא מהצורה של: A*exp(p1t)+Bexp(p2t)+C...zz ואם נקרא לשורש הגדול ביותר p, נקבל: exp(pt)*[Aexp(p1-p)t+Bexp(p2-p)t+..C] zz אם נוציא לזה לוג, נקבל: pt+log[Aexp(p1-p)t+...] zz מכיוון שכל האקספוננטים שליליים, כשנשאיף את t לאינסוף הכל ישאף לאפס, חוץ מpt. אם נגזור, נשאר בדיוק עם p.

 

[אמִיר]

ואגב,

יכול להיות (זו דעתי), שזו דרך מאוד מאוד מסובכת ועקומה לעשות משהו פשוט. בעיקרון בשביל לפתור את ההתמרה ההפוכה/אינטגרל במילא צריך למצוא את השורשים (הקטבים, משפטי קושי למינהם). העניין הוא שיש כאן כאילו פיתרון סגור- וזה נראה לי מוזר..

 

[אחמס1]

מבלי להבין את זה בדיוק, הוריתי למתמטיקה לבצע

את האלגוריתם שלך. אז ככה: זה עובד, פחות או יותר, לפחות עד מעלה חמישית. אבל, השורש שנמצא הוא לא בהכרח הכי גדול אלא שורש כלשהו (אם אפס הוא פתרון - בהכרח הוא). גם כשיש פתרון אחד מרוכב זה עובד (היא קצת מתקשה לחשב את הגבול במקרה שיותר מפתרון אחד מרוכב). טוב, אז אני די בטוח שאפשר להוכיח מתמטית למקרה הכללי. הנקודה נשארת בעינה - איך אתה מתכוון למצוא את הטרנספורם? ככל הידוע לי זה בכלל לא דבר פשוט... לפי הידוע לי זה דורש פתרון של המשוואה האלגברית במכנה, שזו במילא הבעיה שרוצים לפתור.

 

[יונתן 2000]

הערה אחת שחשבתי עליה

אם אני מבין נכון (ולא הבנתי לגמרי את השיטה) אתה מניח שכל השורשים ממשיים, אם יש שורש מדומה אז הפונקציה בזמן לא תהיה סכום של אקספוננטים אלא גם סינוסים ואז הטריק של הוצאת גורם משותף לא יעבוד.

 

[prefect]

מה שאני מבין מכל הסיפור

1) המשפט לגבי קיום פתרון אנליטי לפולינומים מעל דרגה 3 מדבר על פתרון בדיסקרימיננטים - הפעולות המותרות הן פעולות אלגבריות וחזקות רציונליות, כך שקיום פתרון באינטגרלים לא סותר את המשפט 2) לדעתי אין זה מפתיע שקיים פתרון באינטגרלים. אפשר למצוא צורה פשוטה לפתרון כזה די בקלות, למשל לדעתי הביטוי הבא אמור לתת תוצאה דומה (במקרה הזה, שורש ממשי מקסימלי חלקי דרגת הפולינום) :

lim N->inf 1/N log (integral from -inf to inf x^n exp(1/abs(P)^n))/(integral from -inf to inf exp(1/abs(P)^n))​

מכוון שהביטוי עם האקספוננט שואף לסדרה של פונקציות דלתא (כפול קבוע) בשורשים ממשיים, והאינטגרל של x^n מוכפל בדבר הזה שואף לשורש המקסימלי כפול קבוע, כאשר האינטגרל התחתון הוא אותו קבוע כפול מספר השורשים 3) בגדול, אני לא יודע עד כמה אפשר להחשיב אינטגרל (או התמרת פורייה) של ביטויים כאלה למשהו אנליטי - כמו שכבר אמרת, צריך לכל הפחות לפתור את הפולינום כדי להגיע לצורה הסופית של הביטוי..

 

[AnarchistPhilosopher]

איך הידע שלך באנליזה נומרית?

שלי די מוגבל, אבל יש מספר שיטות למציאת שורשים, החל מניוטון רפסון ועד שיטות נוספות שאת שמן אינני זוכר, אבל רובן מצריכות מציאת משיק או מיתר שהוא הערכה גסה למשיק. (כלומר משיק הוא הגבול של המיתרים המחברים בין שתי נקודות).

 

[אחמס1]

הנקודה היא שכל אלו נומריות

אנחנו "מחפשים" נוסחה סגורה. אני יודע שיש הוכחה ממש שאין נוסחה בסגנון מעלה שנייה, שלישית ורביעית. אבל אני לא יודע (אבל כמובן שקיים מישהו שכן יודע) אם ההוכחה גם אוסרת שיהיו אקספוננטים/אינטגרלים או משהו כזה בנוסחה שבכל זאת תהיה סגורה.

 

[AnarchistPhilosopher]

יש כמה שיטות, הנה מה שגוגל מביא:

http://library.wolfram.com/examples/quintic/main.html זה עבור משוואה חמישית, אני רואה שיש שם שיטה לפתרון באמצעות משוואות דיפרנציאליות, ממה שרשום שם ההוכחה, מצביעה שלא קיימת נוסחא סגורה עם: חיבור,כפל,חילוק,חיסור ורדיקלים... אני מקווה שאני אגיע להוכחה הזו במהלך לימודיי (גם באופן עצמאי וגם באוניברסיטה), זה נראה מאוד מעניין, וטענה חזקה מאוד. נ.ב בקשר למשוואות מסדר אי זוגי, תמיד קיים להן שורש ממשי, כך שבשבילן תמיד ניתן למצוא פיתרון, ואם הוא רציונלי אז יש גם שיטה.

 

[עריסטו]

כשאומרים שלמשוואה ממעלה חמישית אין נוסחה

הכוונה היא לנוסחה שמקבלת את המקדמים ועושה שימוש במספר סןפי של פעולות חיבור, חיסור, כפל, חילוק ושורש.

 

[אמִיר]

תודה לכולם ../images/Emo13.gif

בעצם prefect ועריסטו ענו לי על השאלה המקורית- ונוסחא עם אינטגרלים ובלאגנים זה בסדר. לא ניסיתי להציע פה דרך אמיתית או שימושית (או נומרית) לפיתרון, אלא רק לתהות איך זה שאפשר להגיע לנוסחא סגורה- שכוללת בתוכה אינטגרל (אינטגרל שבעצמו לא בהכרח פתיר אנליטית). וכן, שמתי לב שזה לא תמיד יעבוד, הנחתי שיש מגבלות, אבל רציתי לדעת האם באופן עקרוני זה בסדר. אז שוב, תודה לכולם.