שרשור אקדמי יום א'

[covan]

שרשור אקדמי יום א'

 

[covan]

חדוא 1

היי, אשמח לעזרה בסעיפים הבאים:
תרגיל 2- סעיפים ה' וח'
תרגיל 3- סעיפים א וג'
תרגיל 7
תרגיל 9

תודה מראש!

 

[covan]

והקובץ...

 

[becker16]

יש אפשרות להעלות תמונה גדולה יותר?

קשה להבין זה קטן מדי...מקטין את הסיכוי שתקבל פידבק..

 

[covan]

לינארית 1

אשמח לעזרה בכל הסעיפים...

תודה!

 

[Moshik Rules]

מרוכבות

בשאלה המצורפת, אני צריכה לבדוק האם לפונקציה הנתונה יש קדומה בתחומים נתונים.
העניין הוא שלמדנו למצוא את זה ע"י משפט קושי (אם הפונקציה הולומרפית בתחום שמגדירה העקומה, אזי יש לה עקומה), וכאן לא נתנו לי עקומה ואין בכלל אינטגרציה.
רציתי לקבל הדרכה איך לפתור את השאלה בדרך אחרת. בעיקרון אני רואה שיש לה נקודות סינגולריות z=0,i,-i, אז האם זה אומר שעבור חצי המישור העליון וגם עבור מעגל היחידה אין לה קדומה (כי היא לא אנליטית לחלוטין בתחומים אלו)? זה לא כל כך מסתדר לי.
אשמח לעזרה,
תודה רבה!

 

[1ca1]

תשובה

לגבי א, התשובה היא לא. לא תוכלי לברוח מהחור בתחום שמופיע ב-z=i.
אם היה לה קדומה, אז אינטגרל על מסלול סגור בתחום ההולומורפיות היה אפס, אבל קחי מסלול שמקיף את z=i ותקבלי סתירה (אפשר לחשוב על זה כעל משפט השארית, אם הזכרת את משפט קושי). (אם תרצי, הפונקציה היא משהו הולומורפי חלקי zz 1/(z-i) zz אם תכתבי את זה נכון, וזה פוגע לך בהולומורפיות, אנחנו מכירים אינטגרלים כאלו.

לגבי ב, בואי נכתוב את זה טיפה יפה יותר - עם שברים חלקיים
zz (z^3-1)/(z^2(z^2+1))=(Az+B)/z^2+(Cz+D)/(z^2+1) zz
אז A+C=1 וגם B+D=0 וגם A=0 וגם B=-1 כלומר נקבל C=1 ו D=1
ולכן
zz (z^3-1)/(z^2(z^2+1))=-1/z^2+(z+1)/(z^2+1) zzz
הפונקציה הימנית הולומורפית, וגם הפונקציה השמאלית (מפתיע, אבל דורש חישוב של אינטגרל שלה במסילה סביב הראשית, מתברר שהיא כן משמרת, יש לה קדומה ישירה שם), ולכן יש קדומה (פשוט אפשר לכתוב אחת מיידית).

הטריק כאן הוא שלא הייתה שארית, אם נקביל את זה לאלף, העובדה שהקוטב היה בריבוי 2 לפחות ולא בריבוי 1 עזר.

 

[Moshik Rules]

קודם כל תודה רבה

רק שאלה לגבי ב:
הפונקציה הימנית, כלומר z^2+1, איך היא הולומורפית? זה מעגל היחידה, ויש לה נקודות סינגולריות ב-i ו-(-i).. זה לא בעייתי?

וגם, רק אם זה בסדר מבחינתך, אם אפשר להסביר שוב את המשפט האחרון שכתבת? לא למדנו מה זה שארית בהקשר הזה.. או קוטב..

וגם (2), רציתי לבקש, אם אתה (או מישהו אחר כאן) במקרה מכיר חומר עזר טוב לקורס של מרוכבות (אמנם זה קורס של מהנדסים אבל גם חומר למתמטיקאים זה בסדר, אני די נואשת..), מעבר לקורס של הטכניון ביוטיוב והספר של בן ציון קון, אני ממש ממש אשמח להפניה.

תודה רבה לך וחג שמח

 

[1ca1]

מעגל היחידה ברוב הפעמים לא כולל את השפה

פשוט כדור פתוח מנוקב.

אם לא הבנת מה זה שארית או קוטב, זה יועבר בשיעורים הבאים כנראה, זה בעצם המהות של הקורס

.

לגבי ספרים, יש את הספרים של האו"פ.
אני מכיר כמה ספרים מצויינים (אהלפורס הוא הרפרנס הסטנדרטי - ahlfors, ויש עכשיו ספר חדש בהוצאה של פרינסטון של אליאס סטיין - stein, שהוא גם מעולה), אבל לדעתי הם של מתמטיקאים וחופרים בתיאוריה, דבר שאת כנראה לא צריכה.

מאוד מוזר שמתעסקים איתך בדבר כזה בקורס לפיזיקאים, הייתי מצפה שיהיה שם פשוט לחשב אינטגרלים עם משפט השארית

.

 

[Moshik Rules]

זה קורס למהנדסים

כמו שזה נראה עכשיו זה לא יועבר אף פעם

בכל אופן אני אנסה לבדוק את הספרים של האו"פ, לא חשבתי על זה.

תודה לך שוב

 

[Krats526]

אינפי 1 - רציפות במידה שווה

לא יודע כ"כ מאיפה לתקוף את זה... ניסיתי לפי הגדרה ולא כ"כ הצלחתי...
תודה לעוזרים!

 

[becker16]

תשובה

נקבע T>0. נסתכל בקטע הסגור [T,T-] ,הפונקציה שלך רציפה בכל R כמנת רציפות ובפרט גם בקטע הזה. לכן ממשפט קנטור רציפה בו במידה שווה...
אבל זה נכון לכל T>0....

דרך נוספת אפשרית: הפונקציה גזירה כמנת גזירות,תגזור אותה ותנסה להראות שהנגזרת חסומה. זה יגרור רציפות במ"ש.

 

[Krats526]

תשובה לתשובה

הדרך הראשונה שהצעת לא נכונה... תסתכל לדוגמא על X^2...
ולגבי הדרך השניה, היא טובה, אבל אני צריך משהו ללא גזירה...

 

[1ca1]

תשובה

אם נפשט את הפונקציה נקבל
zz g(x)=x-x/(x^2+1) zz
ולכן ברור שעבור xים מאוד גדולים זה מתנהג כמו x, ולכן רציף במ"ש.
בצורה יותר מפורשת, אם e>0 נתון אז עבור x>1/e, וגם x<-1/e נקבל שהגורם השני משפיע מעט מאוד, עד כדי אפסילון, ולכן
zz |g(x)-g|<=|x-y|+2e zz
כנדרש.
אפשר לבחור דלתא = אפסילון בקטע הזה.
עכשיו בקטע בין לבין, zz [-1/e,1/e] zz, הפונקציה רציפה במ"ש מקנטור.
עכשיו אני משאיר לך את הטענה שאם יש לך הדבקה של קטעים של רציפות במ"ש אז אפשר לתפור מזה רציפות במ"ש.

 

[Krats526]

מעולה, תודה!

 

[Sturm Liouville]

תורת האופרטורים, די

אם מישהו עוד ער...

צריך להגיש תרגיל בקוונטים מחר...

השאלה היא לגבי מה שהבנתי שנקרא אופרטור ה- dilation (=מתיחה, או הרחבה נראה לי).

אז איך אני מוכיח ש:
e^(a*x*d\dx)f(x)=C(a)* f(ax) zzz

כאשר a הוא הפרמטר של הטרנספורמציה (מספר ממשי), ו-C(a) איזשהו קבוע שתלוי ב-a.
כלומר צריך להוכיח ש e בחזקת האופרטור הדיפרנציאלי הזה שפועל על פונקציה של x פועל בעצם כשינוי סקאלה.

האם זה בכלל נכון ? אני בכיוון ? כי ניסיתי כרגיל לפתח את האקספוננט לטור ולאסוף איברים, אבל משום מה זה לא יוצא.

עזרה מישהו ?

 

[1ca1]

אני לא מכיר מספיק פסאודו-דיפרנציאלים

אבל אם מה שאתה רוצה להוכיח הוא מה שאני חושב שהוא, זה פיתוח של הטור של האקספוננט, פיתוח של הטור של f, והרבה כפל...

דרך אחרת שעולה לי לראש היא דרך גזירה או אינטגרציה של הביטוי הימני (כנראה גזירה עדיפה), ולקבל משהו, אבל אין לי מושג איך לעשות את זה כאן...