שלווווום!

[m.n]

שלווווום!

התגעגעתם אליי?! אוקיי שוב אני כאן עם כוחות מחודשים לעוד לילה ארוך של פתרונות תרגילים... 1. הוכח שלמשוואה ax^2+(a+b)x+b=0 יש לפחות שורש ממשי אחד לכל a ו-b: 2. הוכח שלמשוואה x^2+bx+c=0 יש שני פתרונות ממשיים שונים לכל b ו-c המקיימים את המשוואה 3b+2c=-5 3. a,b,c הן צלעות משולש. הוכח שלמשוואה ax^2+2(b+c)x+a=0 יש שני שורשים ממשיים שווים.

 

[np equals p]

תשובה ל 1

דלתה במקרה הזה הוא b*b-4ac=(a+b)*(a+b)-4*a*b=a*a+2*a*b+b*b-4*a*b=a*a+b*b-2*a*b וזה גדול או שווה מ0 לכל a ו-b, לכן יש לפחות שורש ממשי אחד

 

[np equals p]

רק שכחתי לציין

הביטוי האחרון שווה כמובן ל (a-b)*(a-b) ולכן הוא גדול או שווה מאפס

 

[m.n]

וואי

אני צריכה גם דרכים וכאלה....

 

[1100F]

פתרון ל-2

הדלטא של המשוואה היא b^2 - 4c אם נציב לפי המשוואה השנייה ש- c = -(5+3b)/2 נקבל שהדלטא תהיה: b^2 + 6b +10 ננסה לפתור את המשוואה b^2 + 6b + 10 = 0 הדלטא של המשוואה הזאת שווה ל- 1- לכן למשוואה הזאת אין פתרון ממשי ולכן הפולינום b^2 + 6b + 10 יהיה תמיד בעל אותו סימן. נבחר b = 0 למשל כדי לבדוק ולראות שהסימן הזה חיובי. לכן הדלטא של המשוואה המקורית תמיד חיובי ולכן תמיד יש 2 פתרונות ממשיים (כל זה בהנחה ש b ו- c הם ממשיים)

 

[Halfbaked]

קיצור קטן

שימו לב ש-

b^2 + 6b + 10 = (b+3)^2 + 1 > 0​

(כי הריבוע תמיד אי-שלילי).

 

[1100F]

פתרון ל-3

הדלטא של המשוואה הוא: 4*(b^2 + c^2 - 2bc -a^2) אם נסמן את הזוית בין b ל- c בתור alpha (האמר ש a, b ו-x הן צלעות של משולש) אז משפת הקוסינוסים אומר ש- a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos alpha מכאן מקבלים ש- b^2 + c^2 - a^2 = 2bc*cos alpha ע"י הוספת 2bc בשני אגפי המשוואה נקבל ש (b^2 + c^ - a^2 +2bc = 2bc*(1+cos alpha עבור alpha = 180 מעלות, אגף ימין יהיה שווה ל-0 (אבל אז זה לא ממש משולש). אחרת אגף ימין יהיה תמיד חיובי. אבל אגף שמאל הוא בדיוק הדלטא של המשוואה המקורית מחולק ב- 4. לכן למשוואה יהיו תמיד שתי פתרונות ממשיים ו- שונים .

 

[Halfbaked]

תיקון קטן

סכום שתי צלעות במשולש גדול תמיד מהצלע השלישית. לכן b+c>a, ומכאן שגם

(b+c)^2 > a^2​

הדיסקרימיננטה היא

(2(b+c))^2 - 4a^2 = 4((b+c)^2 - a^2) > 0​

וזה הכל.