2 ב"ע מתוחכמות ../images/Emo13.gif
הסתכלי על 3 המשולשים AOK , KOL ו - LOC. לכולם שטח זהה (את רואה למה?) , ומכיוון שאת שלושתם יוצר אלכסון המקבילית , הרי שסכומם שטחם הוא כשטחה של חצי המקבילית. אי לכך , שטח כל אחד מהם הוא
1/6 משטחה של המקבילית. ב"ע 1: שרטטי את הקו
CM . למשולשים ACM ו - AOM יש את אותו השטח. אם נפחית את המשולש AKM מכל אחד מהם , נקבל שהמשולשים AOK ו - CMK זהים בשטחם. מסקנה: שטח המשולש CMK הוא 1/6 (משטח המקבילית). התבונני עכשיו במשולשים CMK ו - AMK . הבסיס של המשולש הראשון גדול פי 2 מהבסיס של המשולש השני. מסקנה : שטחו של המשולש AMK הוא 1/12 . מסקנה נוספת:
שטחו של המשולש ACM הוא 1/12 + 1/6 = 1/4 . התבונני כעת על המשולש ACB . שטחו שווה ל -1/2 . נפחית משטחו של ABC את שטחו של ACM , ונקבל
שלמשולשים ACM ו - CMB יש את אותו השטח . מכיוון שלשניהם ניתן להוריד את אותו הגובה מהנ'ק C אל הישר AB , הרי שאורך בסיסיהם שווה , ונקבל:
AM = MB
את אותו הדבר בדיוק נעשה בצורה סימטרית , רק עם בניית עזר שונה. ב"ע 2 : שרטטי את הקו
AN . התבונני במשולש ANO . שטחו שווה ל -1/2 משטחה של המקבילית ,ולכן שטחו שווה לשטח המשולש AOC (למה?) . נחסר משני משולשים אלו את המשולש המשותף AOL , ונקבל ששטח המשולש ANL שווה לשטח המשולש LOC. מסקנה: שטח המשולש ANL שווה 1/6 . התבונני עכשיו בשני המשולשים ANL ו - NLC . שטחו של המשולש NLC גדול פי 2 משטחו של המשולש ANL , ולכן שטח המשולש ANL שווה 1/12 . מסקנה :
שטחו של המשולש ANC שווה : 1/6 + 1/12 = 1/4 . מכיוון ששטח המשולש ABC הוא 1/2 , הרי שהמשולשים ANC ו - ANB שווים בשטחם. מכיוון שניתן להוריד בשניהם את אותו הגובה מנ'ק A לישר BC , הרי שנקבל:
BN = NC
אז מה קיבלנו? 1.
AM = MB 2.
BN = NC
MN הוא קטע אמצעים במשולש ABC !
