שתי שאלות בחוגים.

[מכור אנונימי לקולה]

שתי שאלות בחוגים.

1.יהי R חוג עם יחידה כך שלכול a!=0 יש הופכי מימין. צ"ל: R חוג חילוק.
2. יהי R חוג עם יחידה ו G חבורה בעלת איבר g מסדר סופי שונה מ1. הראו שיש בRG (חוג החבורה) מחלקי אפס. (רמז הביטו בזהות
x^n -1 =(x-1)(x^n-1+x^n-2+...+x+1)

אין לי מוסג איך להתחיל הפילו בשאלות האלו. תודה!

 

[AnarchistPhilosopher]

בנוגע ל-1.

צריך רק להוכיח שאותו הופכי מימין הוא גם הופכי משמאל, נניח ax=1
אז:

xa is non-zero, otherwise:

x = x(ax)=(xa)x = 0x = 0, and thus a0=1 i.e 0=1.
So xa is non zero so it has a multiplcative inverse from the right:

(xa)b = 1 =ax

multiply by xa from the left:
(xa)^2 b = xa
and notice that ax=1, so (x1a)b=1 = xaxab=1 = (xa)^2b
So (xa)^2b =xa and (xa)^2b =1
from this the only conclusion is that: xa=1, and thus a also has a left inverse.


צריך לשחק עם זה קצת.

 

[אורי769]

אפשר יותר פשוט

נניח ax=1
צ"ל xa=1
לפי הנתון קיים b כך - xb=1 והרי
a(xb) = (ax)b

לגבי 2
רמז - יהי g ב-G איבר מסדר n. הצב את g במקום x בזהות שהוצעה

 

[AnarchistPhilosopher]

הארכתי את הדרך...

 

[מכור אנונימי לקולה]

תודה!