שאלה של דידקטיקה

[ציפי ג]

זו לא סתירה, זה משלים

זו לא סתירה
ולדעתי זה בזבוז זמן. סדר פעולות חשבון אינו אינטואיטיבי. סדר פעולות חשבון אלו כללים הגיוניים והבאת את אחת הדוגמאות המאלפות שבהם בהחלט ניתן לילדים להגיע בכוחות עצמם. הציבי לילד מחונן אתגר ותשאלי אותו: 4*3+2= תראי לו שהוא יכול להגיע ל2 תשובות שונות ויהיה עליו לנסות ולהוכיח מה הדרך הנכונה. את תופתעי לטובה מהעושר המחשבתי-מתמטי של הילדים... על זה בדיוק אני מדבר. במקום לתת את הכללים, עדיף לתת לילד לנסות ולהגיע אליהם בעזרת חשיבה. מי שחושב שילדים לא יכולים, שיבושם לו

אני חושב שהם יכולים...

זו לא סתירה, זה משלים
אחרי שהוא משחק עם המספרים, מלמדים אותו שרק תוצאה אחת משקפת את כללי השיח המתטמטיקאי בעולם.

 

[מאמן קושר]

כללי השיח האלו

זו לא סתירה, זה משלים
אחרי שהוא משחק עם המספרים, מלמדים אותו שרק תוצאה אחת משקפת את כללי השיח המתטמטיקאי בעולם.

כללי השיח האלו
בנויים על הגיון ואינם שרירותיים. אני מעדיף שהילד ינסה להגיע להגיון מאחורי הכללים לבד, מבלי ללמד אותו, אלא יותר לכוון אותו. לבוא אל ילד מחונן ולומר לו את כללי סדר פעולות החשבון וכל הבקשה ממנו תהיה רק ליישם את זה בתרגילים, מבחינתי זה פספוס עצום. אגב, זה לא רק לגבי מתמטיקה

פעם הדגמתי למפקחת כיצד תלמידים בכיתה (לצורך העניין כיתה של תלמידים בתיכון שמוגדרת ככיתה "חלשה" שאינה מיועדת לבגרות - כיתת "הכוון") הצליחו לחזות מראש את רוב האירועים בספר יהושע מבלי שלמדו את הספר. במקום ללמד אותם, נתתי להם ללמוד בכוחות עצמם ובעזרת החשיבה מה הם היו עושים אם היו צריכים "להשתלט"

על בית ספר אחר. הם הגיעו לבד שקודם כל עליהם למנות מנהיג שיוביל אותם. הם חשבו לבד על הרעיון של מידע פנימי מתוך בית הספר במקביל. הם חשבו לבד כיצד לעבור את שומר בית הספר מבלי להחשיד וכו' וכו'... ובמילים פשוטות הם יצרו את ההגיון שעומד מאחורי ספר שלם מבלי שהיה להם מושג מה קורה שם. המדהים בכל הסיפור שהמפקחת לא האמינה שהתלמידים לא למדו את הספר לפני... עד כדי כך קשה לנו להאמין ביכולות החשיבה של הילדים!

 

[ציפי ג]

אתה יכול להסביר לי לוגית

כללי השיח האלו
בנויים על הגיון ואינם שרירותיים. אני מעדיף שהילד ינסה להגיע להגיון מאחורי הכללים לבד, מבלי ללמד אותו, אלא יותר לכוון אותו. לבוא אל ילד מחונן ולומר לו את כללי סדר פעולות החשבון וכל הבקשה ממנו תהיה רק ליישם את זה בתרגילים, מבחינתי זה פספוס עצום. אגב, זה לא רק לגבי מתמטיקה

פעם הדגמתי למפקחת כיצד תלמידים בכיתה (לצורך העניין כיתה של תלמידים בתיכון שמוגדרת ככיתה "חלשה" שאינה מיועדת לבגרות - כיתת "הכוון") הצליחו לחזות מראש את רוב האירועים בספר יהושע מבלי שלמדו את הספר. במקום ללמד אותם, נתתי להם ללמוד בכוחות עצמם ובעזרת החשיבה מה הם היו עושים אם היו צריכים "להשתלט"

על בית ספר אחר. הם הגיעו לבד שקודם כל עליהם למנות מנהיג שיוביל אותם. הם חשבו לבד על הרעיון של מידע פנימי מתוך בית הספר במקביל. הם חשבו לבד כיצד לעבור את שומר בית הספר מבלי להחשיד וכו' וכו'... ובמילים פשוטות הם יצרו את ההגיון שעומד מאחורי ספר שלם מבלי שהיה להם מושג מה קורה שם. המדהים בכל הסיפור שהמפקחת לא האמינה שהתלמידים לא למדו את הספר לפני... עד כדי כך קשה לנו להאמין ביכולות החשיבה של הילדים!

אתה יכול להסביר לי לוגית
למה כותבים כשכותבים סוגריים זה אומר שצריך לעשות חיבור או חיסור של האיברים בסוגריים ולא דווקא כשאין סוגריים? אני לא יודעת סיבה לוגית לכך.

 

[מאמן קושר]

סדר פעולות חשבון

אתה יכול להסביר לי לוגית
למה כותבים כשכותבים סוגריים זה אומר שצריך לעשות חיבור או חיסור של האיברים בסוגריים ולא דווקא כשאין סוגריים? אני לא יודעת סיבה לוגית לכך.

סדר פעולות חשבון
הכפל קודם לחילוק לא על פי החלטה שרירותית. סוגריים זהו סימן הלקוח מהעולם הלשוני. סוגריים שווה ערך למשפט בפני עצמו(כמו משפט משועבד בלשון) ולכן הוא נקרא כיחידה אחת. ההגיון כאן הוא מאוד לוגי וזו לא החלטה כי כך רצו.

 

[aaa123]

סוגריים הם בהחלט החלטה כי ככה רצו

סדר פעולות חשבון
הכפל קודם לחילוק לא על פי החלטה שרירותית. סוגריים זהו סימן הלקוח מהעולם הלשוני. סוגריים שווה ערך למשפט בפני עצמו(כמו משפט משועבד בלשון) ולכן הוא נקרא כיחידה אחת. ההגיון כאן הוא מאוד לוגי וזו לא החלטה כי כך רצו.

סוגריים הם בהחלט החלטה כי ככה רצו
ובכלל השפה שאנו מדברים היא כי ככה רצו. בשפה אחרת כל ביטוי חשבוני אפשר לרשום בלי סוגריים על ידי זה שיגדירו ביטוי חשבוני להיות או מספר ממשי או סדרה של פעולה ו2 ביטויים חשבונים אחריה. אפשר היה למשל לרשום ככה: * 4 + 2 3 = 20 * כאן פועל על המספר 4 ועל הסכום של 2 ו3 + 3 * 4 2 = 11 + כאן פועל על המספר 3 ועל המכפלה של 2 ו4.

 

[בזזזזזזז]

זה נשמע לי כמו

סדר פעולות חשבון
הכפל קודם לחילוק לא על פי החלטה שרירותית. סוגריים זהו סימן הלקוח מהעולם הלשוני. סוגריים שווה ערך למשפט בפני עצמו(כמו משפט משועבד בלשון) ולכן הוא נקרא כיחידה אחת. ההגיון כאן הוא מאוד לוגי וזו לא החלטה כי כך רצו.

זה נשמע לי כמו
ההחלטה שנוהגים דוקא בצד ימיןם או שמאל של הדרך, או הסימנים שנבחרו לתמרורים, או למספרים, או לאותיות וכו'. החלטה שרירותית שנועדה לסדר את התנועה. שפה זהה לצורך תקשורת. אני מצליחה להבין איך אפשר לגלות חלק מהרציונלים לבד (למשל את הרציונל של גאוס) אבל כללים ראשוניים כמו סדר פעולות חשבון או אופן כתיבת שברים וכו' - אני לא מבינה איך אפשר להגיע לזה לבד (חוצמאשר בשביל ההנאה הפילוסופית בשלב מתקדם של מתמטיקה - אבל לא בהתחלה).

 

[בזזזזזזז]

דוגמא נוספת

זה נשמע לי כמו
ההחלטה שנוהגים דוקא בצד ימיןם או שמאל של הדרך, או הסימנים שנבחרו לתמרורים, או למספרים, או לאותיות וכו'. החלטה שרירותית שנועדה לסדר את התנועה. שפה זהה לצורך תקשורת. אני מצליחה להבין איך אפשר לגלות חלק מהרציונלים לבד (למשל את הרציונל של גאוס) אבל כללים ראשוניים כמו סדר פעולות חשבון או אופן כתיבת שברים וכו' - אני לא מבינה איך אפשר להגיע לזה לבד (חוצמאשר בשביל ההנאה הפילוסופית בשלב מתקדם של מתמטיקה - אבל לא בהתחלה).

דוגמא נוספת
שעלתה לי היא בחירת הבסיס המודולרי. למה דוקא שיטה עשרונית? שפה ותו לא. לא מצליחה לחשוב על סיבה לוגית שמעדיפה אותה על אחרות.

 

[מאמן קושר]

העלית חיוך על שפתיי

דוגמא נוספת
שעלתה לי היא בחירת הבסיס המודולרי. למה דוקא שיטה עשרונית? שפה ותו לא. לא מצליחה לחשוב על סיבה לוגית שמעדיפה אותה על אחרות.

העלית חיוך על שפתיי
בחירת הבסיס המודולרי של השיטה העשרונית התבצע לאחר שהתברר שזו השיטה הקלה ביותר וממש לא בגלל שפה. ומכיוון שהעלית את זה, אספר לך על מקרה שהיה לי. נתתי פעם משימה לילדה מחוננת בכיתה ב' למצוא את השיטה שתעזור לה לספור בצורה המהירה ביותר כמות אדירה של קלטות. במשך שלושה ימים היא עמלה קשות כדי למצוא את השיטה המהירה ביותר ולבסוף היא באה ואמרה שהשיטה העשרונית הכי מהירה מבחינתה. היא ניסתה לחלק לזוגות (בינארית), שלשות רביעיות וכו' והמסקנה שלה האישית היתה שהחלוקה לעשרות היתה הדרך המהירה מבחינתה. אולי כאן מתחילה הבעיה שנראים לנו הדברים כאילו שהם שרירותיים. הם לא!

 

[aaa123]

הסיבה לשיטה העשרונית היא פשוט ש10

העלית חיוך על שפתיי
בחירת הבסיס המודולרי של השיטה העשרונית התבצע לאחר שהתברר שזו השיטה הקלה ביותר וממש לא בגלל שפה. ומכיוון שהעלית את זה, אספר לך על מקרה שהיה לי. נתתי פעם משימה לילדה מחוננת בכיתה ב' למצוא את השיטה שתעזור לה לספור בצורה המהירה ביותר כמות אדירה של קלטות. במשך שלושה ימים היא עמלה קשות כדי למצוא את השיטה המהירה ביותר ולבסוף היא באה ואמרה שהשיטה העשרונית הכי מהירה מבחינתה. היא ניסתה לחלק לזוגות (בינארית), שלשות רביעיות וכו' והמסקנה שלה האישית היתה שהחלוקה לעשרות היתה הדרך המהירה מבחינתה. אולי כאן מתחילה הבעיה שנראים לנו הדברים כאילו שהם שרירותיים. הם לא!

הסיבה לשיטה העשרונית היא פשוט ש10
זה מספר אצבעות הידים שלנו. מבחינת המהירות שסופרים אני ממש לא רואה סיבה שחלוקה לעשרות תהיה מהירה יותר לחלוקה לתשיעיות. לגבי אותה ילדה שספרה קלטות אני משער שפשוט היתה לה הכרות קודמת עם השיטה העשרונית כי ילדה בכיתה ב כבר נתקלה בספרות 0-9 שהיא למדה בכיתה א.

 

[מאמן קושר]

רואים שאינך מכיר את הילדה

הסיבה לשיטה העשרונית היא פשוט ש10
זה מספר אצבעות הידים שלנו. מבחינת המהירות שסופרים אני ממש לא רואה סיבה שחלוקה לעשרות תהיה מהירה יותר לחלוקה לתשיעיות. לגבי אותה ילדה שספרה קלטות אני משער שפשוט היתה לה הכרות קודמת עם השיטה העשרונית כי ילדה בכיתה ב כבר נתקלה בספרות 0-9 שהיא למדה בכיתה א.

רואים שאינך מכיר את הילדה
אבל הבנתי שהאוירה כאן לא לתת יותר מדי קרדיט. מדובר בילדה שהשפה הבינארית וההקסדצימלית היתה שגורה בפיה יותר מהשפה העשרונית. אבל אני מתחיל להבין שנעולים כאן על משהו ולא יכולים לחשוב שאולי קיים משהו אחר. אני חושב שהייתי די ברור בשרשור. זה השלב שבו אני מתחיל להרגיש שאני טוחן מים וחוזר על דברים שוב ושוב ללא טעם... בכל מקרה, אני הייתי ממליץ קצת יותר "לפתוח" את החשיבה, במיוחד אצל הורים לילדים מחוננים ולבוא מנקודת הנחה שהדברים אינם שרירותיים. אידך, זיל גמור... המשך יום מקסים שיהיה לכולנו

 

[נטשה הרציונלית]

זה שהדברים אינם שרירותיים

רואים שאינך מכיר את הילדה
אבל הבנתי שהאוירה כאן לא לתת יותר מדי קרדיט. מדובר בילדה שהשפה הבינארית וההקסדצימלית היתה שגורה בפיה יותר מהשפה העשרונית. אבל אני מתחיל להבין שנעולים כאן על משהו ולא יכולים לחשוב שאולי קיים משהו אחר. אני חושב שהייתי די ברור בשרשור. זה השלב שבו אני מתחיל להרגיש שאני טוחן מים וחוזר על דברים שוב ושוב ללא טעם... בכל מקרה, אני הייתי ממליץ קצת יותר "לפתוח" את החשיבה, במיוחד אצל הורים לילדים מחוננים ולבוא מנקודת הנחה שהדברים אינם שרירותיים. אידך, זיל גמור... המשך יום מקסים שיהיה לכולנו

זה שהדברים אינם שרירותיים
עדיין לא אומר שניתן להגיע לכל דבר באמצעות הסקה לוגית. וגם במקרים שניתן - לא תמיד זה כדאי מבחינת בזבוז הזמן. אבל זה אולי כבר קצת שאלה ערכית.

 

[בזזזזזזז]

ההסטוריה שלמדתי אומרת אחרת

העלית חיוך על שפתיי
בחירת הבסיס המודולרי של השיטה העשרונית התבצע לאחר שהתברר שזו השיטה הקלה ביותר וממש לא בגלל שפה. ומכיוון שהעלית את זה, אספר לך על מקרה שהיה לי. נתתי פעם משימה לילדה מחוננת בכיתה ב' למצוא את השיטה שתעזור לה לספור בצורה המהירה ביותר כמות אדירה של קלטות. במשך שלושה ימים היא עמלה קשות כדי למצוא את השיטה המהירה ביותר ולבסוף היא באה ואמרה שהשיטה העשרונית הכי מהירה מבחינתה. היא ניסתה לחלק לזוגות (בינארית), שלשות רביעיות וכו' והמסקנה שלה האישית היתה שהחלוקה לעשרות היתה הדרך המהירה מבחינתה. אולי כאן מתחילה הבעיה שנראים לנו הדברים כאילו שהם שרירותיים. הם לא!

ההסטוריה שלמדתי אומרת אחרת
לא תמיד היה בסיס החישוב עשרוני. היו מקומות ותקופות של בסיס 6 ושל בסיס 7 (למה למשל בסיס השבוע פחות הגיוני?) ועדיין יש מקומות שהוא לא כך - ראה רק לצורך הדוגמא את השיטה המוניטרית הבריטית.

 

[ציפי ג]

סבתא שלי חשבה בבסיס 12

העלית חיוך על שפתיי
בחירת הבסיס המודולרי של השיטה העשרונית התבצע לאחר שהתברר שזו השיטה הקלה ביותר וממש לא בגלל שפה. ומכיוון שהעלית את זה, אספר לך על מקרה שהיה לי. נתתי פעם משימה לילדה מחוננת בכיתה ב' למצוא את השיטה שתעזור לה לספור בצורה המהירה ביותר כמות אדירה של קלטות. במשך שלושה ימים היא עמלה קשות כדי למצוא את השיטה המהירה ביותר ולבסוף היא באה ואמרה שהשיטה העשרונית הכי מהירה מבחינתה. היא ניסתה לחלק לזוגות (בינארית), שלשות רביעיות וכו' והמסקנה שלה האישית היתה שהחלוקה לעשרות היתה הדרך המהירה מבחינתה. אולי כאן מתחילה הבעיה שנראים לנו הדברים כאילו שהם שרירותיים. הם לא!

סבתא שלי חשבה בבסיס 12
כי בארה"ב מטבעות בילדותה התחלקו ל12 חלקים.

 

[נטשה הרציונלית]

הביצה והתרנגולת !!!

העלית חיוך על שפתיי
בחירת הבסיס המודולרי של השיטה העשרונית התבצע לאחר שהתברר שזו השיטה הקלה ביותר וממש לא בגלל שפה. ומכיוון שהעלית את זה, אספר לך על מקרה שהיה לי. נתתי פעם משימה לילדה מחוננת בכיתה ב' למצוא את השיטה שתעזור לה לספור בצורה המהירה ביותר כמות אדירה של קלטות. במשך שלושה ימים היא עמלה קשות כדי למצוא את השיטה המהירה ביותר ולבסוף היא באה ואמרה שהשיטה העשרונית הכי מהירה מבחינתה. היא ניסתה לחלק לזוגות (בינארית), שלשות רביעיות וכו' והמסקנה שלה האישית היתה שהחלוקה לעשרות היתה הדרך המהירה מבחינתה. אולי כאן מתחילה הבעיה שנראים לנו הדברים כאילו שהם שרירותיים. הם לא!

הביצה והתרנגולת !!!
(או שמא הסוס והעגלה ?). היה לה הכי קל לספור בעשרות כי היא השתשמה בשיטה העשרונית !!! כל מי שיצא לו לספור הרבה מטבעות או שטרות של כסף יודע שהדרך היעילה ביותר זה לחלק אותם לעשרות. אבל הסיבה היחידה לזה היא פשוט כי אנו סופרים בשיטה עשרונית - ולא להפוך ! הסיבה שאנו משתמשים בשיטה עשרונית היא פשוט כי אנשים רגילים משחר הימים "לספור באצבעות", והן כידוע 10.

 

[מאמן קושר]

אני מצטער להרוס

זה נשמע לי כמו
ההחלטה שנוהגים דוקא בצד ימיןם או שמאל של הדרך, או הסימנים שנבחרו לתמרורים, או למספרים, או לאותיות וכו'. החלטה שרירותית שנועדה לסדר את התנועה. שפה זהה לצורך תקשורת. אני מצליחה להבין איך אפשר לגלות חלק מהרציונלים לבד (למשל את הרציונל של גאוס) אבל כללים ראשוניים כמו סדר פעולות חשבון או אופן כתיבת שברים וכו' - אני לא מבינה איך אפשר להגיע לזה לבד (חוצמאשר בשביל ההנאה הפילוסופית בשלב מתקדם של מתמטיקה - אבל לא בהתחלה).

אני מצטער להרוס
אבל זה שאנחנו לא מצליחים להבין איך אפשר להגיע לדברים לבד עדיין לא אומר שזה בלתי אפשרי

איני יודע כמה מכם באים מעולם המתמטיקה אבל לא קיים כלל או חוק בעולם המתמטיקה שנובעים מהחלטה שרירותית. (אבוי לנו אם זה היה קורה)

 

[aaa123]

סדר פעולות החשבון הוא בהחלט החלטה

אני מצטער להרוס
אבל זה שאנחנו לא מצליחים להבין איך אפשר להגיע לדברים לבד עדיין לא אומר שזה בלתי אפשרי

איני יודע כמה מכם באים מעולם המתמטיקה אבל לא קיים כלל או חוק בעולם המתמטיקה שנובעים מהחלטה שרירותית. (אבוי לנו אם זה היה קורה)

סדר פעולות החשבון הוא בהחלט החלטה
שרירותית בדיוק כמו כל החלטה על בסיס הספירה וכל החלטה על סימונים מתמטים. אילו היו מעודדים ילדים מחוננים להמציא את המתמטיקה מחדש בלי לספר להם על הסימונים הקיימים אז אני משוכנע שהיו ממציאים סימונים אחרים.

 

[מאמן קושר]

ממש לא

סדר פעולות החשבון הוא בהחלט החלטה
שרירותית בדיוק כמו כל החלטה על בסיס הספירה וכל החלטה על סימונים מתמטים. אילו היו מעודדים ילדים מחוננים להמציא את המתמטיקה מחדש בלי לספר להם על הסימונים הקיימים אז אני משוכנע שהיו ממציאים סימונים אחרים.

ממש לא
המתמטיקה תישאר אותה מתמטיקה. לא מדובר כאן על גחמות של ילדים מחוננים אלא על היגיון וחוקיות שאינה משתנה לפי קפריזה של זה או אחר מדובר במתמטיקה, לא בפוליטיקה

 

[נועה לביא]

ועל מה אתה מבסס את כל מה שאתה אומר?

ממש לא
המתמטיקה תישאר אותה מתמטיקה. לא מדובר כאן על גחמות של ילדים מחוננים אלא על היגיון וחוקיות שאינה משתנה לפי קפריזה של זה או אחר מדובר במתמטיקה, לא בפוליטיקה

ועל מה אתה מבסס את כל מה שאתה אומר?
ואני מצטרפת לשני - מהי השכלתך במתמטיקה?

 

[מאמן קושר]

חבל שאתם גולשים לפסים אישיים

ועל מה אתה מבסס את כל מה שאתה אומר?
ואני מצטרפת לשני - מהי השכלתך במתמטיקה?

חבל שאתם גולשים לפסים אישיים
השכלתי האישית לא רלוונטית. אני יכול ללמוד מפרופסור לכלכלה דברים גם אם אני מומחה לפיסול בעוגות. אתם מפספסים את הפואנטה והיא שילדים מחוננים צריכים לחקור כל דבר. ומבלי שום קשר, אני מבסס את דבריי על ד"ר למתמטיקה ולמחשבים (ממכון ויצמן) שמשמש כיום מ"מ חוג למחשבים במכללה יוקרתית בארץ.

 

[מאמן קושר]

חוג=ראש החוג

חבל שאתם גולשים לפסים אישיים
השכלתי האישית לא רלוונטית. אני יכול ללמוד מפרופסור לכלכלה דברים גם אם אני מומחה לפיסול בעוגות. אתם מפספסים את הפואנטה והיא שילדים מחוננים צריכים לחקור כל דבר. ומבלי שום קשר, אני מבסס את דבריי על ד"ר למתמטיקה ולמחשבים (ממכון ויצמן) שמשמש כיום מ"מ חוג למחשבים במכללה יוקרתית בארץ.

חוג=ראש החוג