תשובה
לגבי א, התשובה היא לא. לא תוכלי לברוח מהחור בתחום שמופיע ב-z=i.
אם היה לה קדומה, אז אינטגרל על מסלול סגור בתחום ההולומורפיות היה אפס, אבל קחי מסלול שמקיף את z=i ותקבלי סתירה (אפשר לחשוב על זה כעל משפט השארית, אם הזכרת את משפט קושי). (אם תרצי, הפונקציה היא משהו הולומורפי חלקי zz 1/(z-i) zz אם תכתבי את זה נכון, וזה פוגע לך בהולומורפיות, אנחנו מכירים אינטגרלים כאלו.
לגבי ב, בואי נכתוב את זה טיפה יפה יותר - עם שברים חלקיים
zz (z^3-1)/(z^2(z^2+1))=(Az+B)/z^2+(Cz+D)/(z^2+1) zz
אז A+C=1 וגם B+D=0 וגם A=0 וגם B=-1 כלומר נקבל C=1 ו D=1
ולכן
zz (z^3-1)/(z^2(z^2+1))=-1/z^2+(z+1)/(z^2+1) zzz
הפונקציה הימנית הולומורפית, וגם הפונקציה השמאלית (מפתיע, אבל דורש חישוב של אינטגרל שלה במסילה סביב הראשית, מתברר שהיא כן משמרת, יש לה קדומה ישירה שם), ולכן יש קדומה (פשוט אפשר לכתוב אחת מיידית).
הטריק כאן הוא שלא הייתה שארית, אם נקביל את זה לאלף, העובדה שהקוטב היה בריבוי 2 לפחות ולא בריבוי 1 עזר.