שתי שאלות

[the new L]

אני לא רואה

איפה בגיאומטריה האוקלידית יש הנחה כזאת (ובכלל, הטענה שלך שוב מעגלית - מי אמר שדווקא הממשיים הם "כל המספרים" - אפשר להרחיב את הישר הממשי שיהיה יותר גדול למשל).

 

[the YOOK]

אני לא בטוח אם זה בגיאומטריה

אוקלידית, אבל ההגדרה של מידה, הכוללת בתוכה מונוטוניות דורשת שימוש בממשיים (מונוטוניות היא בעצם שלמות).

 

[niv1990]

הדבר חל גם על הזמן

או שתיאורו שונה? יהיה נכון לומר שהמרחק בין שתי קורדינטות "סמוכות" של ממשים הוא אפס? אם כן אז אפשר להראות שבקורדינטת זמן אי-רציונלית, הגוף נמצא במקום אי-רציונלי? (הצבת מספר אירציונלי בנוסחאות). בכל מקרה אם נובע מהודעתי שאני עוד לא ממש מבין מה הענין אני אחכה ללמוד את זה באופן מסודר

 

[שייח ספיר]

נדמה לי

שקבוצת הממשיים הגדירים איננה מוגדרת היטב. הנה הוכחה: עבור כל מספר ממשי גדיר X נסמן ב- (F(X את מספר התווים המינימלי הנחוץ כדי להגדיר אותו. כיוון שהקבוצה הגדירה היא בת מניה ניתן להגדיר לכל קבוצה חלקית שלה איבר מינימלי, שהוא האיבר מתוכה המופיע ראשון ברשימת הממשיים הגדירים. כעת נסתכל על האיבר המינימלי בקבוצת המספרים הגדירים עם 1000<(F(X. נחוצים לפחות 1000 תווים על מנת להגדיר אותו. אבל עכשיו הגדרתי אותו בפחות מ-1000 תווים. סתירה!

 

[the new L]

נו באמת

התחכמות נחמדה (יש נדמה לי לפרדוקס הזה שם). המושג גדיר הוא מושג מוגדר היטב - מספר הוא גדיר אם קיימת נוסחה בשפה של תורת הקבוצות, בלי פרמטרים, שיש בה משתנה חופשי אחד כך שיש מספר ממשי יחיד שמקיים את הנוסחה (וזהו המספר הגדיר). האם אתה יכול לכתוב את ההוכחה שלך בהינתן ההגדרה הזו?

 

[AnarchistPhilosopher]

נוסחא כמו ax=b?

אתה יכול להביא דוגמא למספר ממשי שהוא גדיר לעומת מספר ממשי שאינו גדיר? וגם אם אתה יכול להסביר את רעיון ההוכחה שקבוצת המספרים הממשיים הגדירים היא בת מניה?

 

[the new L]

לפי מיטב הבנתי

אני בהחלט לא יכול להביא דוגמה למספר ממשי שאינו גדיר. הסיבה שקבוצת הגדירים היא בת מניה נובעת מכך שקבוצת הנוסחאות שמגדירות מספרים היא בעצמה בת מניה.

 

[AnarchistPhilosopher]

אבל אז מה ההבדל בין קבוצת המספרים

הממשיים לגדירים? חוץ מהעובדה שאחת ניתנת למניה והאחרת לא. אם כל מספר ממשי הוא למעשה גדיר, אבל נגיד שלא כל מספר גדיר הוא ממשי, אז עוצמת המספרים הגדירים גדולה מעוצמת המספרים הממשיים. (זה כמובן בלי להכנס לעובדה שצריך למצוא פונקציה חח"ע ועל בין קבוצה חלקית של הגדירים לבין קבוצת הממשיים), אבל פה דיברת על המשפרים הגדירים שהם ממשיים, אני עד עכשיו לא מבין מה ההבדל בינם לבין המספרים הממשיים עצמם, הרי מספרים ממשיים יש ביניהם מספרים טרנסצנדטליים ואלגבריים, אבל גם למספר כמו פאי ניתן למצוא נוסחא כלשהי שמתארת אותו (אמנם לא פולינום, משוואה אלגברית, אבל ניתן למצוא סכום אינסופי שלו).

 

[the new L]

מי אמר

שקבוצת כל המספרים הממשיים הם הגדירים? רוב המספרים הממשיים הם לא גדירים, אבל כל מספר ספציפי שאני יכול לדבר עליו הוא גדיר. יש המון מספרים לא גדירים, ורק כמות בת מניה של מספרים גדירים (למשל, כל המספרים הרציונלים, כל המספרים האלגברים, כל המספרים שיש לך טור אינסופי (שאתה יכול לתאר את איבריו באמצעות נוסחה) שמתכנס אליהם, כל אלה הם מספרים גדירים). זה לא אומר שאין מספרים שאינם גדירים, להפך - העובדה על העוצמות של הקבוצות אומרת שרוב המספרים אינם גדירים.

 

[AnarchistPhilosopher]

להזכיר לך מה כתבת בהודעה הקודמת?

"אני בהחלט לא יכול להביא דוגמה למספר ממשי שאינו גדיר." ועכשיו אתה אומר: "רוב המספרים הממשיים הם לא גדירים". אתה מנסה לבלבל אותי או אותך? (-:

 

[the new L]

אין סתירה בין 2 המשפטים האלה

אני לא יכול להביא לך דוגמה ספציפית למספר שאינו גדיר, אבל כן יכול להוכיח (משיקולי עוצמות) שקיימים מספרים ממשיים רבים שאינם גדירים. מה הבעיה בזה?

 

[AnarchistPhilosopher]

מבחינתי זו בעיה, כי אז מה שאתה מביא

מאוד ערטילאי מבחינתי, עד בלתי אינטואיטיבי. בדר"כ כשאתה מוכיח תכונה כללית אתה מצפה שתהיה דוגמא, לפחות אחת של התכונה הספציפית. אתה יכול להביא עוד הוכחות של משפטים בהם לא ניתן למצוא דוגמא ספציפית לתכונה המתוארת במשפט? הבעיה היא שאני עוד לא נתקלתי בדבר כזה, אודה לך אם תפנה אותי למשהו דומה לזה.

 

[the new L]

בטח! המתמטיקה המודרנית

מלאה בדוגמאות כאלה. בסוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20 באמת הייתה התנגדות להוכחות כאלה (כי היה קשה לתפוס שמוכיחים שמשהו קיים בלי אפשרות לתת לו דוגמה), אבל היום זה דבר מאוד מקובל. לדוגמה: סדר טוב. נאמר שקבוצה A יחס עם יחס סדר חלקי > היא סדורה היטב אם לכל תת קבוצה לא ריקה של A יש איבר מינימלי. למשל - המספרים הטבעיים יחד עם הסדר הרגיל הם קבוצה סדורה היטב - לכל תת קבוצה לא ריקה של מספרים טבעיים יש איבר מינימלי. ישנו משפט בתורת הקבוצות (השקול לאקסיומת הבחירה) האומר שניתן לסדר היטב כל קבוצה. למשל, אפשר להוכיח שקיים סדר טוב על המספרים הממשיים. אבל לאף אחד אין מושג איך נראה סדר כזה ואף אחד מעולם לא הצליח לבנות סדר טוב על הממשיים.

 

[AnarchistPhilosopher]

מה גרם לשינוי בדעתם של המתמטיקאים

שכיום הם מקבלים הוכחות כאלו בלי היסוס?

 

[ק ה ל ת]

חולק על הדוגמא

סדר טוב על R, כפי שכתבת, שקול לאקסיאומת הבחירה, בנוסף זו בעיה לא כריעה בלי הנחות נוספות. כלומר לעולם לא ניתן יהיה (בלי הנחות נוספות) למצא סדר טוב על R, כמו גם להוכיח שאין אחד כזה.

 

[the new L]

סדר טוב על R אינו שקול

לאקסיומת הבחירה למיטב ידיעתי. העובדה שיש לכל קבוצה סדר טוב היא זו ששקולה לאקסיומת הבחירה.

 

[ק ה ל ת]

אני לא בטוח

יכול להיות שאתה צודק, נדמה לי שבזמנו למדתי שסדר על R הוא מספיק (ומכאן כמובן סדר על כל קבוצה של מספרים ממשיים, כתת קבוצה של R).

 

[שייח ספיר]

לפרדוקס הזה קוראים

פרדוקס ברי. הסיבה שההגדרה שהצגת כאן איננה מובילה לסתירה היא שגדירות איננה, בפני עצמה, "נוסחה בשפה של תורת הקבוצות, בלי פרמטרים, שיש בה משתנה חופשי אחד". אלא שמכאן נובע שניתן להגדיר מספרים גם באופן כללי יותר מאשר הצורה המצומצמת הזו, למשל, בהחלט ניתן להגדיר את המספר המינימלי (ברשימה בת מניה מוגדרת) שבנוסחת הגדירות שלו (בהגדרה שלך) יש בהכרח יותר מאלף תווים. מספר כזה איננו בהכרח גדיר (לשיטתך), אבל בהחלט הצגתי אותו בצורה חד ערכית. ומיאפה לך שמספרים חשובים בפיסיקה לא דורשים הגדרות כלליות יותר מאשר נוסחה במשתנה אחד עם פתרון אחד?

 

[the new L]

אני לא מכיר את

הנושא מספיק, אבל לפי מה שמצויין בויקיפדיה - אי אפשר לתת דוגמה למספר לא גדיר...

 

[שייח ספיר]

הנקודה שלי היא

שאתה מנסה להחזיק את המקל משתי קצותיו. מצד אחד הצגת הגדרה מצומצמת של מהו מספר גדיר, ומצד שני אתה מנסה לטעון שלא ניתן "להגדיר" (במשמעות המורחבת והטבעית של המושג) שום מספר שלא ניתן להגדרה המתמטית המצומצמת. אבל אם שתי ההגדרות שקולות נופלים שוב לפרדוקס ברי. ולמעשה נתתי "הגדרה" של מספר לא גדיר: המספר המינימלי (כלומר, הראשון ברשימה) בקבוצת המספרים שהגדרתם (ע"י נוסחה עם משתנה חופשי וכו') דורשת לפחות 1000 תווים.