שתי שאלות

[אמִיר]

שתי שאלות

הראשונה, מטרידה אותי כבר הרבה זמן (לא ממש מטרידה, אבל באמת הרבה זמן). למה שמסתכלים על מסכי LCD, או אולי גם מסכים אחרים, מזווית קטנה רואים היפוך צבעים של התמונה? ניסיתי לחפש קצת בגוגל, אבל חוץ ממשפט סתום של "היפוך הצבעים נגרם כתוצאה משבירה כפולה" לא קיבלתי שום דבר. (when looking at a display at an off angle the colors tend to shift and sometimes invert due to birefringence) שאלה שנייה, בעצם שאלה של TheNewL בפורום השכן (עתודה)- למה בעצם משתמשים בפיזיקה דווקא במספרים הממשיים? זה נראה מובן מאליו שצריך אבל..אולי לא? http://www.tapuz.co.il/tapuzforum/main/Viewmsg.asp?forum=159&msgid=86209161

 

[אחמס1]

לפי הבנתי

העניין עם הLCD דווקא קשור לקיטוב האור שיוצא מהגבישים, ניסו להסביר לנו את זה כ"העשרה" באופטיקה (רוב הקורס הזה הוא העשרה שתופיע במבחן). איך בדיוק, לא זוכר, אבל קשור בכך שהאלומה היא לא כדורית כמו במסך CRT. בקשר ללמה לא משתמשים במספרים מרוכבים? דווקא כן משתמשים כשזה נוח ונחוץ (גלים, קוונטים שאני אכשל בהם בעוד כמה שעות). אבל תוצאה של מדידה היא ממשית, כי פשוט הגדרנו אותה ככה (בחרנו בשדה הממשיים כשדה הדברים האמיתיים עם יחידות). אתה יכול לסובב את כל היקום עם העתקת מביוס יוניטרית בפאי חצי מעל למרוכבים, ואז כל התוצאות של כל התרגילים תהיינה מדומות, מה תשיג בכך?

 

[SpyKid]

בהצלחה ../images/Emo13.gif

 

[אחמס1]

תודה ../images/Emo13.gif

 

[אמִיר]

לא זו השאלה

השאלה היא לא למה מספרים מרוכבים, איתם אין לי בעייה (בהצלחה בקוונטים). הכוונה (ובגלל זה צירפתי לינק), היא למה צריך את כל המספרים הממשיים, למה לא להסתפק בפחות?

 

[אחמס1]

אני עדיין לא מבין את השאלה

איך המספרים המרוכבים הם "פחות" מהממשיים? קראתי (בריפרוף משהו) את תת השירשור הרלוונטי אבל עדיין לא ברורה הבעיה, בבקשה תנסח (רצוי באמצעות דוגמה) מחדש בדיוק מה מפריע לך בשימוש בממשיים או אי-שימוש במרוכבים. תודה על ייחולי ההצלחה

 

[אמִיר]

גם אני לא מבין יותר מדי

לכן צירפתי את הלינק- שאם מישהו מבין על מה הוא דיבר שם, שיתן את הצד הפיזיקלי של זה. באופן עקרוני, אין קשר למספרים מרוכבים. השאלה מתעסקת במספרים הממשיים, והאם צריך אותם, או אפשר אולי משהו אחר יתאים יותר. כאמור, לא ממש הבנתי.

 

[liory33]

אחמס 1

זאת החתימה הכי משעשעת שראיתי בתפוז בינתיים

 

[AnarchistPhilosopher]

אתה מתכוון בשביל מה להשתמש בכל ציר

המספרים הממשיים, אם גם ככה לוקחים מספר שהוא נכון עד נקודה עשרונית מסויימת, ולכן מן הסתם הוא מספר רציונלי. אני חושב שהשאלה יותר מתאימה לפיזיקאים ניסויים, מכיוון שבבבעיות תיאורטיות בפיסיקה או סתם ש.ב, אם אתה מקבל מספר אי רציונלי כתשובה סופית, למשל שורש 2, אתה לא חייב לכתוב תשובה עשרונית, או בצורה דומה, כאשר שואלים מתמטיקאי מהו השורש של 2, הוא יענה sqrt2. בכל אופן, אם לא לזה הכוונה, אני גם כן לא ממש מבין מה הבעיה.

 

[the new L]

אני אנסה להבהיר

משום מה אם אני שואל למה צריך את כל הממשיים - התשובה שאתה נותן היא כי לפעמים צריך חלק מהאי רציונלים. אין ספק בכך, אבל האם צריך את כולם? למשל, יש את שדה המספרים האלגברים (חלק מהם הם מספרים מרוכבים), או את שדה המספרים הממשיים הגדירים. אלו שדות קטנים בהרבה משדה הממשיים (כי הם בני מניה והוא לא) אבל (לפחות השני) מכיל כל מספר שאי פעם יעניין אותך בשימוש כלשהו במתמטיקה (פשוט כי כל מספר שאתה יכול להגדיר בצורה כלשהי הוא מספר גדיר).

 

[אמִיר]

תודה

לא היה לי סיכוי לנסח את השאלה שלך בעצמי. אגב, אני עדיין אשמח לקבל תשובה לשאלה הראשונה (למי שנבהל מהשאלה השנייה).

 

[ק ה ל ת]

אנסה לענות

הפיזיקה היא בסופו של דבר מודל מתמטי לעולם, אם המודל מתאים אז יופי, אם לא אז מחפשים מודל אחר. כשאנחנו מביטים בפיזיקה "הישנה", בעיקר מכניקה ניוטונית, אנחנו רוצים ליצג את הגדלים המופיעים שם באופן מתמטי ולבצע עליהם פעולות. למשל אנחנו יודעים שאורך הוא גודל אדטיבי שמתנהג (שוב, לפחות במכניקה ניוטונית) כמו ישרים במרחב אוקלידי. הנסיון הראשון היה לייצג כל גודל כזה בתור מספר רציונלי, אבל לאחר שהראו שאין בזה די למודל (ועברו אלף חמש מאות שנה עד שפיתחו את החדוו"א) עברו להשתמש בממשיים כמודל מוצלח יותר. כעת אנחנו יכולים לקחת כל גודל שמקיים עם גורמים אחרים יחסים ידועים ולהשתמש עבורו במספרים ממשיים. האם אפשר להסתפק בשדה קטן יותר ? אולי, אבל בשביל זה צריך להניח אי רציפות של המרחב. להזכירך לפי השערת הרצף אין עוצמה בין הממשיים לבני המניה, והשערה זו אינה כריעה (כלומר אי אפשר להפריך אותה). כלומר יש צורך בשינוי תפיסת העולם הפיזיקלית בשביל לעבור לשדה אחר (כמובן שיש לזה טעם רק אם מחליפים עוצמה, אחרת אתה פשוט סופר את אותו הדבר בצורה אחרת). לגבי שימוש במספרים מרוכבים, ברור שגודל אינו מספר מרוכב, מבחינת המודל אין שום סיבה ליחס לחמש זברות שורש ממינוס אחד, אנו עוברים להשתמש במרוכבים רק כאשר זה משפט חישובים, עבור גדלים שאינם מדידים באותו הרגע. בצורה דומה מכניקת הקוונטים משתמשת במטריצות ווקטורים, כלי אחר שמתאים לתפיסת עולם שונה.

 

[the new L]

אי רציפות של המרחב?

למה אתה מתכוון בזה? אתה מתכוון לכך שהמרחב הוא שלם (הרי זו התכונה המרכזית שמאפיינת את הממשיים)? ואם כן - מתי בפיזיקה חשובה לך השלמות של המרחב? כמו כן לא הבנתי למה חשוב לך שהמרחב יהיה לא בן מניה (הסיבה שאני חשבתי עליה היא שאחרת יהיה לא כל כך אפשרי להגדיר מרחב הסתברות על המרחב)

 

[ק ה ל ת]

צפיפות מול רצף

עוצמה שפחותה מ-א יכולה להיות צפופה (רציונליים שקולים ל-א0), אבל היא לא רציפה. כך לאם דוגמא שורש שתים לא שייך לקבוצה הזו. אם אני בונה בפועל משולש ישר זוית עם ניצבים באורך מטר, אורך היתר יהיה שורש שתים, ובהינתן שאני מניח אותו בראשית הצירים שלי, אין לי נקודה שאני יכול ליחס לקצה שלו. אני כן יכול ליצור סדרה של נקודות המתקרבות ושואפות אליו, אבל זו בדיוק ההגדרה של הממשיים. יוצא שאם אני משתמש בשדה לא רציף, אני מקבל אובייקטים שאני לא יכול למקם, בנוסף לעובדה שאובייקטים נעים "קופצים" בין נקודות סמוכות (קרובות אינפינטיסימלית).

 

[the new L]

היא יכולה להיות רציפה

(ואתה מתכוון לשלמה - לא לרציפה, לא? מה הגדרה של קבוצה רציפה???). למשל - המספרים השלמים בטופולוגיה הרגילה הם קבוצה שלמה (ולו כי הטופולוגיה עליהם היא הטופולוגיה הדיסקרטית). מה שכן, זה כנראה נכון שאם אתה דורש גם שבין כל 2 איברים יהיה איבר (מה שאתה מכנה משום מה צפיפות) וגם שלמה אז כנראה שהיא צריכה להיות בעוצמה אלף. מצד שני, אם נחזור לשדה המספרים הגדירים - נכון שהוא לא קבוצה שלמה - אבל: כל סדרה שאתה יכול להגדיר באמצעות נוסחה - אם היא סדרת קושי אז הגבול שלה הוא מספר גדיר, כלומר יש פה שלימות במסגרת מה שאפשר להגדיר.

 

[ק ה ל ת]

תודה על הקרדיט

אבל זה לא אני שמכנה את התכונה צפופה, אלא מתמטיקאים (נסה למשל להקיש "קבוצה צפופה" בויקפדיה). נדמה לי שרציפות שקולה לשלמות וצפיפות, אבל אני לא בטוח. הכוונה שכל נקודה על הישר שייכת לקבוצה. מה שאתה בעצם עושה זה ללכת להגדיר קבוצה בעוצמה א0 לא בגלל שהיא מייצגת יותר טוב את המודל, אלא בגלל שרק למספרים שלה תהיה לנו אפשרות להתייחס. אבל ברור שכשעצם נע במרחב (ע"פ המודל הקלאסי) הוא עובר בכל נקודה בדרך, לכן גם אם אין לנו אפשרות להתיחס לרוב הנקודות, קבוצת הממשיים מהווה יצוג נכון יותר של המודל. בכל מקרה בשביל צרכים מעשיים, יש פריסות של המרחב בעזרת סטים בני מניה, למשל בתורת שטרום-ליוביל (הרמוניות ספריות וכד').

 

[the new L]

קבוצה צפופה

יש למושג שתי משמעויות שונות, אני התייחסתי לטופולוגית (כיוון שאנחנו מדברים על מרחבים) וזה מקור הטעות

. (קבוצה היא צפופה אם הסגור שלה הוא המרחב כולו). כאשר עצם נע במרחב הוא אכן עובר דרך כל נקודה בדרך. מי אמר שהוא עובר בדרך דרך נקודות שמרחקן מהראשית הוא מספר לא גדיר? אתה אומר זאת רק כי לדעתך המרחב שלנו ממוספר על ידי הממשיים, אך זאת בעצם השאלה - מי אמר שהמרחב שלנו מורכב מהממשיים כולם.

 

[ק ה ל ת]

זה בסיס המודל

המודל הקלאסי מניח גאומטריה אוקלידית ליקום, אם מחליפים את המרחב צריך לבדוק האם יש לכך השפעות על הגאומטריה (איךם זה משפיע על האורך, כשנראה שאפשר לדחוס את כל המרחב לנקודה בגלל הפרש העוצמות). מעבר לכך יש מעט יומרנות בהנחה שהנקודות הקיימות במסלול תנועתו של אובייקט הן רק נקודות ש*אנחנו* יכולים להגדיר, הרי מספרים שאנחנו לא יכולים להגדיר אינם פגומים בשום צורה ממספרים שכן.

 

[the new L]

מה הקשר בין

גיאומטריה אוקלידית למספרים ממשיים???

 

[ק ה ל ת]

בגאומטריה אוקלידית

הנחה מובלעת (כמדומני) היא שכל המספרים האפשריים יכולים להיות מיוצגים על ישר נתון (בטווח הרלוונטי). אתה בא ואומר שאתה מוציא מתוך המרחב את כל המספרים שאין לך נוסחה סופית להגיע אליהם, אבל אנחנו יודעים שהם קיימים. מי מבטיח לך שזה לא משפיע על אי-אילו מאפיינים של המרחב ? הרי הרגע הוצאת מתוך הישר את "רוב" הנקודות שבו. אתה למעשה מקריס את המרחב לגודל נקודתי, מתוך תקווה שלאחר מכן הוא ימשיך לקיים את אותן תכונות. עכשיו מוטלת עליך המשימה לבנות מרחב דמוי-אוקלידי הבנוי רק ממספרים גדירים ולהראות שהוא אכן מקיים את כל החוקים הידועים במרחב אוקלידי תחת אותן אקסיאומות. יש סיכוי טוב שזה יעבוד, אבל כדי לתת לזה תוקף פורמלי אתה חייב לבצע פיתוח מלא ולהראות שקילות.