diofant.ru

אתר חידות פופולרי ברוסית. רוב החידות קלילות, או ניתנות לחישוב מהיר במחשב. למשל: מיצאו מספר תלת-ספרתי בעל תכונה מסוימת. אפשר להריץ תכנית פשוטה שתרוץ על כל המספרים התלת-ספרתיים ולבדוק אם מתקיימת בהם אותה תכונה. מה גם שבדר"כ די להקליד את התשובה הסופית, בלי צורך לפרט את דרך מציאת הפתרון.
עם זאת, מפעם לפעם מופיעות בו גם בעיות מעניינות, ברמת קושי זו או אחרת, ולפעמים נדרש פתרון מפורט.
 
בפנים משולש שווה-צלעות ABC נבחרה נקודה D.
נתונות הזוויות:
ADB = α
BDC = β
CDA = γ
(α+β+γ=360°)
מהקטעים AD, BD, ו-CD בנו משולש חדש. מיצאו את זוויותיו.
 
Razrezanie_shestiugolnika_64.jpg גזרו את הצורה הצוירת למספר חלקים, שאפשר להרכיב מהם משושה משוכלל. מהו מספר החלקים המינימלי?
מותר להזיז את החלקים, לסובב אות ואף להפוך לצד השני.
 
תרגיל לפתרון בעזרת מחשב:
מצא משולש שווה צלעות ונקודה בתוכו כך שאורך צלע המשולש ומרחקי הנקודה מקדקודי המשולש יהיו מספרים שלמים. מהו המשולש הקטן ביותר האפשרי?
 
בפנים משולש שווה-צלעות ABC נבחרה נקודה D.
נתונות הזוויות:
ADB = α
BDC = β
CDA = γ
(α+β+γ=360°)
מהקטעים AD, BD, ו-CD בנו משולש חדש. מיצאו את זוויותיו.

על הצלע DC נבנה משולש שווה צלעות ECD
המשולשים ACE CDB חופפים ( CE=CD AC=CB והזוויות ECA DCB שוות ) , ולכן EA=DB.
המשולש המבוקש הוא AED ( צבוע באפור ) וזוויותיו קטנות ב 60° מעלות מהזויות α β γ

606060.jpg
 
עוד תרגיל: נתון משולש שווה צלעות ונקודה. מרחקי הנקודה מקדקודי המשולש הם a, b, c. אורך צלע המשולש הוא d. מיצאו פולינום P ממעלה 4 שלכל משולש ונקודה כנ"ל מקיים P(a,b,c,d)=0. מה מפתיע בתוצאה? מה ההסבר הגיאומטרי לזה?
 
עוד תרגיל: נתון משולש שווה צלעות ונקודה. מרחקי הנקודה מקדקודי המשולש הם a, b, c. אורך צלע המשולש הוא d. מיצאו פולינום P ממעלה 4 שלכל משולש ונקודה כנ"ל מקיים P(a,b,c,d)=0. מה מפתיע בתוצאה? מה ההסבר הגיאומטרי לזה?
מה הכוונה ש P(a,b,c,d)=0 , האם זה אומר ש a b c d הם שורשי אותו פולינום ?
 
מה הכוונה ש P(a,b,c,d)=0 , האם זה אומר ש a b c d הם שורשי אותו פולינום ?
הכוונה היא ש-P הוא פולינום בארבעה משתנים a b c d, למשל abd-88c+b. צריך למצוא פולינום כזה (ממעלה רביעית) כך שאם מציבים ב-a,b,c את מרחקי הנקודה מהקדקודים וב-d את אורך הצלע, הפולינום מתאפס. אני אמחיש באמצעות דוגמה פשוטה: נניח שהייתי שואל - למצוא פולינום P(x,y,z) ממעלה שישית, כך שאם x,y,z הם אורכי הצלעות של משולש ישר זווית - הפולינום מתאפס. פתרון: (x^2+y^2-z^2)(y^2+z^2-x^2)(z^2+x^2-y^2).
 
הכוונה היא ש-P הוא פולינום בארבעה משתנים a b c d, למשל abd-88c+b. צריך למצוא פולינום כזה (ממעלה רביעית) כך שאם מציבים ב-a,b,c את מרחקי הנקודה מהקדקודים וב-d את אורך הצלע, הפולינום מתאפס. אני אמחיש באמצעות דוגמה פשוטה: נניח שהייתי שואל - למצוא פולינום P(x,y,z) ממעלה שישית, כך שאם x,y,z הם אורכי הצלעות של משולש ישר זווית - הפולינום מתאפס. פתרון: (x^2+y^2-z^2)(y^2+z^2-x^2)(z^2+x^2-y^2).
אני חושב שאתה מתכוון לזה
1595338741096.png
מצאתי את זה כאן.
אני לא יודע איך להוכיח את השוויון הזה. מה שלדעתי מפתיע בתוצאה זה הסימטריה בין a b c ל d אפשר להחליף בניהם והשוויון עדין התקיים.
ההסבר הגאומטרי הוא שאפשר לבנות משולש שווה צלעות נוסף על אחד הקטעים שמתחברים לקודקודים למשל על הקטע CD ( בציור למעלה) שנגיד שאורכו a נבנה משולש CED ואז הנקודה A הופכת להיות הנקודה הנוספת שמתחברת לכל אחד מקודקודי המשולש שווה הצלעות החדש CED והאורכים d ו a התחלפו בתפקידם ( כעת a זה אורך המשולש שווה צלעות) .
 
אני חושב שאתה מתכוון לזה
צפה בקובץ המצורף 703
מצאתי את זה כאן.
אני לא יודע איך להוכיח את השוויון הזה. מה שלדעתי מפתיע בתוצאה זה הסימטריה בין a b c ל d אפשר להחליף בניהם והשוויון עדין התקיים.
ההסבר הגאומטרי הוא שאפשר לבנות משולש שווה צלעות נוסף על אחד הקטעים שמתחברים לקודקודים למשל על הקטע CD ( בציור למעלה) שנגיד שאורכו a נבנה משולש CED ואז הנקודה A הופכת להיות הנקודה הנוספת שמתחברת לכל אחד מקודקודי המשולש שווה הצלעות החדש CED והאורכים d ו a התחלפו בתפקידם ( כעת a זה אורך המשולש שווה צלעות) .
אכן לזה התכוונתי. הגעתי לשוויון הזה לפני הרבה שנים (אני לא זוכר את הדרך) וגם הכללתי לממדים אחרים. למשל אם a,b,c,d,e הם מרחקי נקודה מקדקודי טטראדר משוכלל ואורך צלע הטטראדר אז
zzz 4(a^4+b^4+c^4+d^4+e^4)=(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2)^2
ובארבעה ממדים
zzz 5(a^4+b^4+c^4+d^4+e^4+f^4)=(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2)^2
וכן הלאה.
 
על הצלע DC נבנה משולש שווה צלעות ECD
המשולשים ACE CDB חופפים ( CE=CD AC=CB והזוויות ECA DCB שוות ) , ולכן EA=DB.
המשולש המבוקש הוא AED ( צבוע באפור ) וזוויותיו קטנות ב 60° מעלות מהזויות α β γ

צפה בקובץ המצורף 630
|V|
אני מוסיף את הסרטוט שלי. מעבירים דרך נקודה D מקבילים לצלעות המשולש. מעיפים את המשולשים שווי-הצלעות שהתקבלו (צבועים בשחור), ומסדרים מחדש את המקביליות. gra0.png
 
אני חושב שאתה מתכוון לזה
צפה בקובץ המצורף 703
מצאתי את זה כאן.
אני לא יודע איך להוכיח את השוויון הזה. מה שלדעתי מפתיע בתוצאה זה הסימטריה בין a b c ל d אפשר להחליף בניהם והשוויון עדין התקיים.
ההסבר הגאומטרי הוא שאפשר לבנות משולש שווה צלעות נוסף על אחד הקטעים שמתחברים לקודקודים למשל על הקטע CD ( בציור למעלה) שנגיד שאורכו a נבנה משולש CED ואז הנקודה A הופכת להיות הנקודה הנוספת שמתחברת לכל אחד מקודקודי המשולש שווה הצלעות החדש CED והאורכים d ו a התחלפו בתפקידם ( כעת a זה אורך המשולש שווה צלעות) .
וגם...
בסרטוט שהצגתי למעלה (עם המשולשים השחורים והמקביליות), אם נסמן את אורכי צלעות המקביליות כ-u,v,w, תתקבלנה המשוואות הבאות:
u+v+w=d
u²+v²+uv=a²
u²+w²+uw=b²
v²+w²+vw=c²
מהן לא קשה לקבל את השוויון.
 
תרגיל לפתרון בעזרת מחשב:
מצא משולש שווה צלעות ונקודה בתוכו כך שאורך צלע המשולש ומרחקי הנקודה מקדקודי המשולש יהיו מספרים שלמים. מהו המשולש הקטן ביותר האפשרי?
מצאתי ב"שיטת המקביליות" שתיארתי לעיל משולש כזה: אורך צלע המשולש שווה הצלעות: 784. מרחקי הנקודה הפנימית מקודקודי המשולש: 399, 455, 511. יש יותר קטן?
בסרטוט המצורף, אורכי צלעות המקביליות הם:
u=195
v=264
w=325
gra0a.png
 
שלושת הראשונים שיצאו לי עכשיו:
d=112, a=57, b=65, c=73, u=195/7, v=264/7, w=325/7
d=147, a=73, b=88, c=95, u=264/7, v=325/7, w=440/7
d=185, a=43, b=147, c=152, u=765/37, v=1064/37, w=5016/37​
רגע!
זה בעצם הפתרון שכתבתי בהתחלה - מצומצם בגורם המשותף 7.
זה אומר, ש"שיטת המקביליות" דווקא יעילה. מה גם שקיימת שיטה מהירה למציאת שלשות מספרים שלמים: u²+uv+v²=a²
 
למעלה